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Technische Mechanik 1: Statik - Lagerkräfte mittels Culmann-Verfahren

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Technische Mechanik 1: Statik

Lagerkräfte mittels Culmann-Verfahren

Inhaltsverzeichnis

Nachdem die Resultierende mittels Seileckverfahren ermittelt worden ist, kann als nächstes das Culmann-Verfahren zur Bestimmung der drei unbekannten Lagerkräfte angewandt werden.

Culmann-Verfahren

Merke

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Voraussetzung für die Anwendung des Culmann-Verfahrens sind 3 unbekannte Kräfte, deren Wirkungslinie gegeben sind und eine Kraft die mit Betrag und Richtung gegeben ist.

Die aus dem Seileckverfahren ermittelte Resultierende ist mit Betrag (bzw. Länge) und Richtung gegegen. Die drei unbekannten Lagerkräfte sind mit ihren Wirkungslinien gegeben. Das Culmann-Verfahren kann hier also angewandt werden. 

Wir betrachten das Fachwerk und lösen dieses von den Lagern. Anstelle der drei Kräfte $F_1$ bis $F_3$ wird die Resultierende $R$ eingezeichnet. Die Länge der Resultierenden wird dem gewählten Maßstab entsprechend eingezeichnet ($1 kN = 2cm$).

Fachwerk Culmann-Verfahren
Fachwerk: Lagerkräfte bestimmen

Die Resultierende weist einen Betrag von $R = 3,35 kN$ auf, dies entspricht einer Länge von 6,7 cm. Die Resultierende muss diesem Maßstab entsprechend eingezeichnet werden. Die Lage und Richtung müssen ebenfalls beibehalten werden (siehe vorherigen Abschnitt).

Als nächstes werden die Wirkungslinien aller Kräfte verlängert eingezeichnet und die Schnittpunkte der Wirkungslinien markiert:

Culmann-Verfahren Schnittpunkte
Culmann-Verfahren: Schnittpunkte

Hinweis

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Hinweis: Die obige Grafik ist verkleinert dargestellt, damit sämtliche Schnittpunkte abgebildet werden können. Tatsächlich gilt hier weiterhin der Maßstab $1 kN = 2cm$. 

Es müssen nun zwei Schnittpunkte ausgewählt werden und die dazugehörigen Kräfte in die Schnittpunkte verschoben werden. Dabei darf jede Kraft nur in einem Schnittpunkt vorkommen. Es werden die mit $1$ und $2$ markierten Schnittpunkte gewählt und die Culmann-Gerade (CM) durch diese Schnittpunkte eingezeichnet:

Culmann-Verfahren Culmann-Gerade
Culmann-Gerade (CM)

Im nächsten Schritt wird der Kraftplan eingezeichnet. Hierzu beginnt man mit der bekannten Resultierenden $R$. Diese wird mit ihrer Richtung und ihrem Maßstab ($3,35 kN = 6,7 cm$) übernommen.

Die Resultierende liegt im Schnittpunkt $2$ zusammen mit der Lagerkraft $B$, weshalb als nächstes die Lagerkraft $B$ betrachtet wird und die Wirkungslinie dieser an die Spitze der Resultierenden $R$ gelegt wird. Danach wird die Culmann-Gerade an den Anfangspunkt der Resultierenden $R$ gelegt $\Rightarrow$ Es entsteht ein neuer Schnittpunkt zwischen $CM$ und der Wirkungslinie der Lagerkraft $B$:

Culmann-Verfahren Kraftplan
Kraftplan: Schnittpunkt 2

Die Wirkungslinie der Lagerkraft $B$ und die Culmann-Gerade (grün) ergeben den Schnittpunkt, welche die Länge der Lagerkraft $B$ aufzeigt:

Culmann-Verfahren Kraftplan
Lagerkraft B

Das Messen der Lagerkraft $B$ ergibt 2 cm, diese Länge entspricht nach dem festgelegten Maßstab $B = 1 kN$.

Die verbleibenden beiden Lagerkräfte $A_h$ und $A_v$ werden nun wie folgt eingezeichnet:

(I) Eine der beiden Kräfte wird als nächstes mit ihrer Wirkungslinie in den obigen Schnittpunkt zwischen der Wirkungslinie und der Culmann-Geraden gelegt,

(II) die andere Kraft wird dann mit ihrer Wirkungslinie an den Anfang der Resultierenden $R$ gelegt.

Welche Kraft wir für (I) und welche für (II) nehmen ist beliebig. Wir wählen für (1) $A_h$ und für (2) $A_v$:

Culmann-Verfahren Wirkungslinien Kraftplan
Culmann-Verfahren: Kraftplan

Die Schnittpunkte der Wirkungslinie von $A_h$ und $A_v$ ergibt die Länge der Lagerkraft $A_h$. Der Schnittpunkt zwischen der Wirkungslinie von $A_v$ und der Resultierenden $R$ ergibt dann die Länge der Lagerkraft $A_v$. Da der Umlaufsinn durch die Resultierende $R$ gegeben ist, können auch die Richtungen der Lagerkräfte ermittelt werden. Es muss ein geschlossenen Krafteck vorliegen, da sich das Fachwerk im Gleichgewicht befindet. Jede Kraft muss also mit der Spitze den Anfangspunkt der nachfolgenden Kraft berühren:

Culmann-Verfahren Kraftplan Kräftepolygon
Culmann-Verfahren: Ergebnis

Auf der rechten Seite der Grafik ist die Culmann-Gerade (grün) und die Wirkungslinien der Lagerkräfte entfernt worden. Es ist deutlich ein geschlossenes Krafteck (bzw. Kräftepolygon) zu sehen. Als nächstes werden die Längen der Kräfte $A_v$ und $A_h$ gemessen:

$A_h = 3 cm = 1,5 kN$

$A_v = 4 cm = 2 kN$.

Nachdem die Lagerkräfte bestimmt sind, können als nächstes mittels Cremonaplan die Stabkräfte bestimmt werden.

Methode

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$B = 2 cm = 1 kN$

$A_h = 3 cm = 1,5 kN$

$A_v = 4 cm = 2 kN$