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Technische Mechanik 1: Statik - Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke

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Technische Mechanik 1: Statik

Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke

Möchte man die Lagerreaktion eines ebenen Tragwerks bestimmen, so ist der erste Schritt die Anwendung des Schnittprinzips. Hierbei werden die Lager entfernt und ihre Wirkung auf das Tragwerk durch die unbekannten Reaktionen ersetzt. Diese werden im Freikörperbild (Grafik $b$) verbildlicht, wobei der Richtungssinn einer unbekannten Reaktion frei gewählt werden kann.

Lagerreaktionen
Lagerreaktionen

Merke

Ob die angenommene Richtung korrekt ist, lässt sich anhand des Vorzeichens des Zahlenwertes in der Rechnung erkennen. Ist das Vorzeichen positiv, so ist die angenommene Richtung korrekt, ist hingegen das Vorzeichen negativ, so ist der Richtungssinn entgegengesetzt zur zuvor angenommenen Richtung. 

Alle im freigeschnittenen Tragwerk angreifenden Kräfte müssen die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen. Die drei Gleichgewichtsbedingungen im ebenen Fall haben die Form:

$R_x = \sum F_{ix} = 0 $

$R_y = \sum F_{iy} = 0 $

und $\sum M_i = 0 $

Mit Hilfe dieser Gleichungen können nun die Lagerreaktionen berechnet werden. Zur Vertiefung des bisher Erlernten folgt nun ein exemplarisches Beispiel.

Anwendungsbeispiel: Bestimmung von Lagerreaktionen

Beispiel

In der unteren Abbildung ist ein Balken dargestellt, der auf einem Festlager $A$ und einem Loslager $ B$ gelagert ist. Zudem wirkt auf ihn die Kraft $ F = 20 kN $ im Winkel $\alpha = 50 ° $. Es gilt nun die unbekannten Lagerreaktionen zu bestimmen. 

Lagerreaktionen Beispiel
Beispiel: Bestimmung der Lagerreaktionen

Zur Berechnung der Lagerreaktionen benötigt man die drei Gleichgewichtsbedingungen $R_x = 0$, $R_y = 0$ und $M = 0$. Es müssen alle von außen wirkenden Kräfte, die auf den Balken wirken, berücksichtigt werden. Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, muss als erstes das Freikörperbild gezeichnet werden:

Lagerreaktionen Freikörperbild
Freikörperbild

Da es sich bei dem Lager $A$ um ein Festlager handelt, kann dieses eine horizontale Kraft $A_h$ und eine vertikale Kraft $A_v$ übertragen. Das Loslager $B$ hingegen kann nur eine vertikale Kraft übertragen.

Mithilfe der Momentengleichgewichtsbedingung ist es nun möglich die Lagerreaktionen zu berechnen. Wenn beispielsweise der Bezugspunkt bei $A$ liegt, dann gehen die Lagerreaktionen $A_h$ und $A_v$ nicht in die Momentenberechnung mit ein, da kein Hebelarm existiert. Man kann dann also aus dieser Gleichung die Lagerreaktion $B$ berechnen. Wählt man hingegen als Bezugspunkt den Punkt $B$, so geht die Lagerreaktion $B$ und $A_h$ nicht in die Momentenberechnung ein und man kann $A_v$ berechnen. Und mithilfe der horizontalen Gleichgewichtsbedingung $R_x = 0$ kann dann $A_h$ berechnet werden.

Merke

Erinnerung: Ein Moment berechnet sich durch Betrag der Kraft mal Abstand zum Bezugspunkt. Schneidet die Wirkungslinie einer Kraft bereits den Bezugspunkt, so existiert kein Hebelarm und damit auch kein Moment für diese Kraft. Außerdem ist die Richtung der Drehung zu berücksichtigen. Für Drehungen des Körpers um den Bezugspunkt entgegen des Uhrzeigersinns wird ein positives Vorzeichen gewählt, ansonsten ein negatives.

Momentengleichgewichtsbedingung

Der Bezugspunkt wird bei $A$ gesetzt, um die Lagerreaktion $B$ zu berechnen:

$\curvearrowleft M^{(A)} = B \cdot 4m - F \cdot \sin (50°) \cdot 2m = 0$

$M^{(A)} = B \cdot 4m - 20 kN \cdot \sin (50°) \cdot 2m = 0$

$B = 7,66 kN$.

Die Kraft $F$ wird mithilfe der Sinusfunktion vertikal und nach unten gerichtet aufgestellt und kann dann solange parallel verschoben werden (2m), bis die Wirkungslinie den Bezugspunkt schneidet. Das Moment hierfür muss negativ sein, da die Kraft $F$ den Balken mit dem Uhrzeigersinn um den Bezugspunkt $A$ dreht.

Der Bezugspunkt wird bei $B$ gesetzt, um $A_v$ zu berechnen:

$\curvearrowleft M^{(B)} = -A_v \cdot 4m + F \cdot \sin (50°) \cdot 2m = 0$

$M^{(B)} = -A_v \cdot 4m + 20kN \cdot \sin (50°) \cdot 2m = 0$

$A_v = 7,66 kN.$

Die Kraft $F$ wird mithilfe der Sinusfunktion vertikal und nach unten gerichtet aufgestellt und kann dann solange parallel verschoben werden (2m), bis die Wirkungslinie den Bezugspunkt schneidet. Das Moment hierfür muss positiv sein, da die Kraft $F$ den Balken gegen den Uhrzeigersinn um den Bezugspunkt $B$ dreht.

Alternativ hätte man die Kraft $F$ auch nach oben gerichtet drehen können mit $-\sin (50°)$. Dann muss das Moment allerdings negativ sein, da die Drehung dann im Uhrzeigersinn erfolgt. Das Ergebnis wäre dasselbe:

$M^{(B)} = -A_v \cdot 4m - 20kN \cdot -\sin (50°) \cdot 2m = 0$

$A_v = 7,66 kN.$

Horizontale Gleichgewichtsbedingung

Die horizontale Gleichgewichtsbedingung wird verwendet, um $A_h$ zu berechnen:

$\rightarrow \ R_x = A_h - F \cdot \cos (50°) = 0$

$A_h = 12,86 kN$.

Die Kraft $F$ wird mithilfe der Cosinusfunktion horizontal aufgestellt, um diese in die Horizontalberechnung mit einzubeziehen. Da die Kraft in Richtung der negativen x-Achse zeigt, muss diese mit einem Minuszeichen versehen werden. Alternativ kann man auch den Winkel 230° (= 50° + 180°) wählen, sodass $F$ in Richtung der positiven x-Achse zeigt.

$\rightarrow \ R_x = A_h + F \cdot \cos (230°) = 0$

$A_h = 12,86 kN$.

Lagerreaktionen Alternative
Alternative

Die vertikale Gleichgewichtsbedingung war hier nicht weiter nötig, da alle Kräfte bestimmt sind.