Kursangebot | Strömungslehre | Vertikale und horizontale Gleichgewichtsbedingung

Strömungslehre

Vertikale und horizontale Gleichgewichtsbedingung

Im vorherigen Abschnitt ist die Stützkraft eingeführt worden, welche den Impulsstrom und die Druckenergie am Eintritt und Austritt zu einer Kraft zusammenfasst. In diesem Abschnitt soll nun gezeigt werden, wie man mithilfe der horizontalen und vertikalen Gleichgewichtsbedingung die fehlenden äußeren Kräfte (meistens Auflagerkräfte) berechnen kann. Die Auflagerkräfte treten u.a. bei Umlenkungen und Verengungen auf. 

Stützkraftprinzip

Die obige Grafik zeigt einen Rohrkrümmer, durch welchen ein Fluid strömt. Der Rohrkrümmer befindet sich in der $x$,$y$-Ebene, die Draufsicht ist von oben auf den Rohrkrümmer. Die Stützkräfte $S_{ein}$ und $S_{aus}$ fassen dabei den jeweiligen Impulsstrom $\dot{I}$ und die jeweilige Druckenergie $p \; V$ zusammen. Wichtig ist es, dass bei den obigen Formeln für die Stützkräfte, diese IN den Kontrollraum zeigen. Die Gewichtskraft des Fluids wird hier nicht berücksichtigt, da diese in $z$-Richtung wirkt. Die Kraft $F_A$ ist die Auflagerkraft (aufgrund der Krümmung), welche auch gleichzusetzen ist mit derjenigen Kraft, welche durch das Fluid aufgrund der Krümmung auf den Rohrkrümmer ausgeübt wird (actio = reactio). Da die Kraft $F_A$ nicht einfach so bestimmt werden kann, muss diese in Komponenten zerlegt werden, welche dann berechnet werden. Am Ende können dann aus diesen zwei Komponenten die Kraft $F_A$ bestimmt werden. Am besten eignet sich dafür die Zerlegung der Kraft in eine Horizontalkomponente in $x$-Richtung und eine Vertikalkomponente in $y$-Richtung.

Die Kraft $F_A$ wird also in eine Horizontalkomponente $F_{A, H}$ zerlegt und in eine Vertikalkomponente $F_{A, V}$. Da die Kraft $F_A$ in einem Koordinatensystem im 3. Quadranten liegt, zeigt die Horizontalkomponente in negative $x$-Richtung und die Vertikalkomponente in negative $y$-Richtung:

Koordinatensystem

In der folgenden Grafik ist das Ganze veranschaulicht:

Stützkraftprinzip

In der obigen Grafik ist nun die Auflagerkraft $F_A$ in zwei Komponenten zerlegt worden. Und zwar in eine Vertikalkomponente $F_{A,V}$ und in eine Horizontalkomponente $F_{A,H}$. Diese beiden Komponenten gehen stellvertretend für die Auflagerkraft $F_A$ in die Gleichgewichtsbedingungen ein. Das heißt also, dass zunächst die beiden unbekannten Kräfte $F_{V,A}$ und $F_{H,A}$ berechnet werden müssen. Ferner müssen noch die Stützkräfte in ihre Komponenten zerlegt werden. Hierbei muss nun aber Kosinus und Sinus verwendet werden, da diese Komponenten berechnet werden können (Stützkräfte sind gegeben):

$S_{H, ein} = S_{ein} \cdot \cos(\alpha)$  (Richtung positiver $x$-Achse)

$S_{V, ein} = S_{ein} \cdot \sin (\alpha)$  (Richtung negativer $y$-Achse)

Die Stützkraft $S_{aus}$ ist bereits eine Horizontalkraft und geht deshalb mit dem gesamten Betrag in die horizontale Gleichgewichtsbedingung ein und nicht in die vertikale Gleichgewichtsbedingung. Da diese in Richtung der negativen $x$-Achse zeigt, muss diese Kraft mit einem Minuszeichen berücksichtigt werden.

Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen

Es können nun die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden. Zunächst wird die horizontale Gleichgewichtsbedingung aufgestellt:

$\rightarrow \sum F_x = 0$

Merke

Erinnerung: In der horizontalen Gleichgewichtsbedingung gehen alle Kräfte, die in Richtung der positiven $x$-Achse zeigen, auch positiv ein und alle Kräfte, die in negative $x$-Richtung weisen auch negativ ein.

$ - F_{A,H} + S_{H, ein} - S_{aus} = 0$

Die vertikale Gleichgewichtsbedingung sieht wie folgt aus:

$\uparrow \sum F_y = 0$

$ - F_{A,V} - S_{V, ein} = 0$

Auflösen nach $F_{A,H}$ und $F_{A,V}$ und einsetzen der Stützkräfte (Formeln) ergibt:

$F_{A,H} =  S_{ein} \cdot \cos (\alpha)  - S_{aus}$

$F_{A,H} = (p_{ein} \cdot A_{ein} + \dot{I_1}) \cdot \cos(\alpha) - S_{aus}$

$F_{A,H} = (p_{ein} \cdot A_{ein} +  \rho \cdot A_1 \cdot w_1^2) \cdot \cos(\alpha) -  S_{aus}$. 

$F_{A,H} = (p_{ein} \cdot A_{ein} +  \rho \cdot A_1 \cdot w_1^2) \cdot \cos(\alpha) -( p_{aus} \cdot A_{aus} + \dot{I_2})$. 

$F_{A,H} = (p_{ein} \cdot A_{ein} +  \rho \cdot A_1 \cdot w_1^2) \cdot \cos(\alpha) -( p_{aus} \cdot A_{aus} + \rho \cdot A_2 \cdot w_2^2)$.

$F_{A,V} = - S_{V, ein} $

$F_{A,V} = -S_{ein} \cdot \sin (\alpha)$

$F_{A,V} = -(p_{ein} \cdot A_{ein} + \dot{I_1}) \cdot \sin (\alpha)$

$F_{A,V} = -(p_{ein} \cdot A_{ein} + \rho \cdot A_1 \cdot w_1^2) \cdot \sin (\alpha)$

Nachdem dann $F_{A,V}$ und $F_{A,H}$ bestimmt worden sind, kann die Auflagerkraft $F_A$ mittels Satz des Pythagoras berechnet werden:

$F_A = \sqrt{F_{A,H}^2 + F_{A,V}^2}$

Methode

Zusammenfassung der Vorgehensweise:

1. Berechnung der Stützkräfte.

2. Zerlegung der Kräfte in Horizontal- und Vertikalkomponenten mittels Trigonometrie.

3. Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen und Berücksichtigung der Kräfte.

4. Auflösung der Gleichgewichtsbedingungen nach der gesuchten Kraft.

Beispiel: Stützkraftprinzip und Gleichgewichtsbedingungen

Stützkraftprinzip Beispiel

Beispiel

Gegeben sei der obige Rohrkrümmer, welcher sich in der $x$,$y$-Ebene befindet (Draufsicht von oben). Es soll die Kraft $F_A$ berechnet werden, welche durch das Fluid auf die Wand des Rohrkrümmers ausgeübt wird. Gegeben sind die folgenden Werte:

$p_1 = 101.000 Pa$ / $ \dot{V} = 0,6 \frac{m^3}{min}$ / $\rho = 999,97 \frac{kg}{m^3}$ / $d_1 = 50 mm$ / $d_2 = 40 mm$ / $F_G = 10 kN$ / $\alpha = 30°$.

Es wird nun einfach der obigen Vorgehensweise gefolgt. 

Bevor mit der Berechnung begonnen wird, soll zunächst noch einmal auf die Richtung der Stützkräfte eingegangen werden. Am besten man geht davon aus (auch wenn es z.B. in der Aufgabenstellung nicht so gegeben ist), dass die Stützkräfte IN den Kontrollraum weisen, dann nämlich kann man die folgenden Formeln anwenden:

$S_{ein} = p_{ein} \cdot A_{ein} +  \rho \cdot A_{ein} \cdot w_{ein}^2$

$S_{aus} = p_{aus} \cdot A_{aus} +  \rho \cdot A_{aus} \cdot w_{aus}^2$.

Zeigen die Stützkräfte beide in den Kontrollraum (oder wird es einfach bei der Berechnung so angenommen), so können die beiden obigen Formeln mit den positiven Werten angenommen werden. Deswegen macht es die Berechnungen erheblich einfacher, wenn beide Stützkräfte in den Kontrollraum angenommen werden.

1. Berechnung der Stützkräfte

Für die Strömung von $1$ nach $2$ gilt dann:

$S_1 = p_1 \cdot A_1 +  \rho \cdot A_1 \cdot w_1^2$

$S_2 = p_2 \cdot A_2 +  \rho \cdot A_2 \cdot w_2^2$.

Angenommen: Beide Stützkräfte weisen IN den Kontrollraum.


Einige Werte sind allerdings noch nicht bekannt. Begonnen wird zunächst mit der Geschwindigkeit $w_1$. Diese kann aus dem gegebenen Volumenstrom berechnet werden:

$w \cdot A = \dot{V}$.

$w_1 = \frac{\dot{V}}{A_1}$.


Der Querschnitt $A_1$ wird über den Durchmesser $d_1$ bestimmt. Da es sich um ein kreisförmiges Rohr handelt, gilt:

$A_1 = d_1^2 \frac{\pi}{4} = (0,05 m)^2 \frac{\pi}{4} = 0,00196 m^2$.

$w_1 = \frac{\frac{0,6}{60} \frac{m^3}{s}}{0,00196 m^2} = 5,10 \frac{m}{s}$.


Die Geschwindigkeit $w_2$ kann nun mittels Kontinuitätsgleichung (alternativ wieder über den Volumenstrom) bestimmt werden.

$w_1 \cdot A_1 = w_2 \cdot A_2$

mit $A_2 = (0,04 m)^2 \frac{\pi}{4} = 0,00126 m^2$.

$w_2 = w_1 \frac{A_1}{A_2} = 5,10 \frac{m}{s} \cdot \frac{0,00196 m^2}{0,00126m^2} = 7,93 \frac{m}{s}$.

Der Druck $p_2$ kann mittels der Bernoulli-Gleichung bestimmt werden. Es wird hier zur besseren Übersicht von reibungsfreien Strömungen ausgegangen, weshalb die Verlustterme nicht berücksichtigt werden müssen. Es wird die Bernoullische-Druckgleichung verwendet, da bei dieser die Drücke bereits separat stehen:

$\rho \; g \; z + \frac{1}{2} \; w^2 \; \rho  + p = const$.


Berücksichtigung dieser Gleichung von $1$ nach $2$ ergibt:

$\rho \; g \; z_1 + \frac{1}{2} \; w_1^2 \; \rho  + p_1 = \rho \; g \; z_2 + \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho  + p_2$.


Die Höhen sind $z_1 = z_2$, da der Krümmer in der $x,y$-Ebene liegt (siehe Grafik). Der Krümmer liegt also horizontal auf dem Boden und die Höhen im Punkt $1$ und $2$ sind gleich:

$\frac{1}{2} \; w_1^2 \; \rho  + p_1 = \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho  + p_2$.

$p_2 = p_1 + \frac{1}{2} \; w_1^2 \; \rho - \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho $

$p_2 = p_1 + \frac{1}{2} \; \rho (w_1^2 - w_2^2)$

$\small{p_2 = 101.000 Pa + \frac{1}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} ( (5,10 \frac{m}{s})^2 -  (7,93 \frac{m}{s})^2) = 82.563,10 Pa}$.

Es sind nun alle Werte gegeben, um die Stützkräfte zu bestimmen:

$\small{S_1 = 101.000 Pa \cdot 0,00196 m^2 +  999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 0,00196 m^2 \cdot (5,10 \frac{m}{s})^2 = 248,94 N}$

$\small{S_2 = 82.563,10 Pa \cdot  0,00126 m^2 + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot  0,00126 m^2 \cdot (7,93 \frac{m}{s})^2 = 183,26 N}$.

2. Zerlegung der Kräfte mittels Trigonometrie

Als nächstes werden alle äußeren Kräfte (Stützkräfte, Gewichtskraft des Wassers und die gesuchte Auflagerkraft) in ihre Komponenten zerlegt. Dies geschieht mittels Cosinus und Sinus. Es werden nur diejenigen Kräfte in ihre Komponenten zerlegt, die nicht exakt in $x$- oder $y$-Richtung weisen.

$S_{1, H} = S_1 \cdot \cos(30°) = 248,94 N  \cdot \cos(30°) = 215,59 N$  (positive $x$-Richtung)

$S_{1, V} = S_1 \cdot \sin(30°) = 248,94 N \cdot \sin(30°) = 124,47 N$  (negative $y$-Richtung)

Außerdem muss noch die gesuchte Kraft $F_A$ in ihre Komponenten zerlegt werden:

$F_{A, H}$   (negative $x$-Richtung)

$F_{A, V}$   (negative $y$-Richtung)

Hier muss natürlich kein Kosinus und Sinus angewandt werden, weil die Kräfte $F_{A,H}$ und $F_{A,V}$ die unbekannten Kräfte darstellen, welche ermittelt werden müssen.

$S_2$ ist bereits eine Horizontalkraft und zeigt in negative $x$-Richtung.

3. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen

Horizontale Gleichgewichtsbedingung:

$\rightarrow \sum F_x = 0$

$-S_2 + S_{1, H} - F_{A,H} = 0$


Einsetzen der Werte:

$-183,26 N + 215,59 N - F_{A,H} = 0$

Auflösen nach $F_{A,H}$:

$F_{A,H} = 32,33 N$.

Vertikale Gleichgewichtsbedingung:

$\uparrow \sum F_y = 0$

$-S_{1, V} - F_{A,V} = 0$

Einsetzen der Werte:

$-124,47 N  - F_{A,V} = 0$

Auflösen nach $F_{A,V}$:

$F_{A,V} = -124,47 N$.

Die Kraft $F_{A,V}$ ist negativ, weshalb diese genau entgegengesetzt eingezeichnet werden muss, als das oben in der Grafik geschehen ist. Die Kraft $F_{A,V}$ zeigt also nach oben. Die Kraft $F_{A,H}$ ist positiv und zeigt demnach in die genau angenommene Richtung. Das bedeutet für die Resultierende, dass diese nicht im 3. Quadranten, sondern im 2. Quadranten liegt:

Auflagerkräfte Impulserhaltungssatz

Es kann nun aus diesen beiden Komponenten die Kraft $F_A$ (Betrag), also die Resultierende berechnet werden. Dies geschieht mittels dem Satz des Pythagoras:

$F_A = \sqrt{F_{A,H} ^2 + F_{A,V} ^2} = \sqrt{32,33^2 + (-124,47)^2} = 128,6 N$

Die Richtung der Resultierenden, also der Winkel zwischen Resultierender und der Horizontalkraft $F_{A,H}$ (Richtungswinkel) ergibt sich durch:

$\tan (\alpha) = \frac{F_{A,V}}{F_{A,H}}$.

Am einfachsten ist es nun die Kräfte so einzuzeichnen, wie sie tatsächlich wirken (siehe obige Grafik). Dann wird die Kraft $F_{A,V}$ positiv und man berechnet den Winkel zwischen $F_A$ und $F_{A,H}$ mit:

$\tan (\alpha) = \frac{F_{A,V}}{F_{A,H}}$.

$\alpha = \tan^{-1} \frac{F_{A,V}}{F_{A,H}} = \tan^{-1} \frac{124,47}{32,33} = 75,44°$.

Auflagerkraft Impulssatz

Probe

Zum besseren Verständnis, wird noch die Probe durchgeführt. Die Kraft $F_A$ ist nun gegeben mit $128,41 N$. Man kann diese Kraft nun mittels Kosinus und Sinus und dem Winkel $76,48°$ in die Horizontalkomponente $F_{A,H}$ und Vertikalkomponente $F_{A,V}$ zerlegen. Kommt am Ende dasselbe Ergebnis für die beiden Komponenten heraus, so hat man alles richtig gemacht;

$F_{A,H} = F_A \cdot \cos (75,44°) = 128,6 N \cdot \cos(75,44°) = 32,33 N$

$F_{A,V} = F_A \cdot \sin (75,44°) = 128,6 N \cdot \sin(75,44°) = 124,47 N$.

Ziel dieser Aufgabe war es, die Auflagerkraft $F_A$ zu berechnen. Diese beträgt $F_A = 128,6 N$. In diesem Beispiel wurden Reibungsverluste vernachlässigt. Werden diese hingegen nicht vernachlässigt, so muss bei der Aufstellung der Bernoulli-Gleichung (zur Berechnung der Unbekannten) der Verlustterm zusätzlich berücksichtigt werden. Hierzu müssen dann die Einzelverluste und streckenabhängigen Verluste auf der rechten Seite hinzuaddiert werden. Es muss dann wieder das Moody-Diagramm herangezogen werden, um $\lambda$ zu berechnen (bei turbulenten Strömungen) und es muss der Verlustbeiwert $\xi$ für die Einzelverluste aus Tabellenwerken entnommen werden.