Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen

Gegeben sei der folgende Zweigelenkbogen mit den Lagern $A$ und $B$, die beide gelenkig sind. Da es sich bei dem Lager $B$ um ein Loslager handelt, welches nach links und rechts verschiebbar ist, wird sich der Zweigelenkbogen bei der Einwirkung der Kräfte $F_1$ bis $F_4$ verschieben. 

Zweigelenkbogen

Die statische Bestimmtheit des Zweigelenkbogen ist gegeben durch:

$r + v = 3 \cdot n$

mit

$r = 3$, $n = 1$, $v = 0$

$3 + 0 = 3 \cdot 1$

Um der Verschiebung, die durch das Loslager $B$ entsteht, entgegen zu wirken, wird dieses durch ein Festlager ausgetauscht. Allerdings ist dann die statische Bestimmtheit nicht mehr gegeben:

$r = 4$, $n = 1$, $v = 0$

$4 + 0 \neq 3 \cdot 1$

Es muss also zusätzlich ein Gelenk $G$ angebracht werden, welches aus dem Zweigelenkbogen ein Dreigelenkbogen macht und die statische Bestimmtheit wieder herstellt:

Dreigelenkbogen

Die statische Bestimmtheit ist wieder hergestellt durch $r = 4$ Lagerreaktionen, $v = 2$ Kräfte, die das Gelenk übertragen kann und $n = 2$ Teilkörper.

$4 + 2 = 3 \cdot 2$

Ein Dreigelenkbogen muss nicht die Form eines Bogens besitzen. Dreigelenkbögen sind Tragwerke, die aus zwei Teilkörpern bestehen und gelenkig miteinander verbunden sind (drei Gelenke).

Anwendungsbeispiel: Dreigelenkbogen

Beispiel Dreigelenkbogen

Statische Bestimmtheit

Der obige Dreigelenkbogen hat $r = 2 + 2$ Lagerreaktionen, $v = 2$ Kräfte, die das Gelenk übertragen kann und $n = 2$ Teilkörper (durch das Gelenk entstehen zwei Teilkörper).

$r + v = 3 \cdot n$

$4 + 2 = 3 \cdot 2$

Der obige Dreigelenkbogen ist statisch bestimmt!

Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, wird als erstes das Freikörperbild gezeichnet. Hierbei werden die beiden Teilkörper, die durch das Gelenk verbunden sind, getrennt voneinander betrachtet:

Freikörperbild

Teilkörper 1

Durch Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen können die Lager- und Gelenkkräfte berechnet werden. Es ist sinnvoll den Bezugspunkt so zu wählen, dass bei der Momentengleichgewichtsbedingung möglichst viele Kräfte wegfallen. In diesem Fall wird der Bezugspunkt beim Lager $A$ gewählt, da so die vertikalen und horizontalen Lagerreaktionen $A_h$ und $A_v$, sowie die horizontale Gelenkkraft $G_h$ unberücksichtigt bleiben und $G_v$ berechnet werden kann:

$\curvearrowleft  M^{(A)} = -G_v \cdot 4m + F_2 \cdot 6m = 0$

$0 = -G_v \cdot 4m + 10 \cdot 6m$

$G_v = 15 kN.$

Als nächstes wird der Bezugspunkt beim Gelenk $G$ gesetzt:

$\curvearrowleft  M^{(G)} = -A_v \cdot 4m + F_2 \cdot 2m = 0$

$0 = -A_v \cdot 4m + 10 \cdot 2m$

$A_v = 5 kN$.

Die horizontale Gleichgewichtsbedingung wird nun herangezogen, um $A_h$ und $G_h$ zu berechnen:

$ \rightarrow  R_x = -A_h - G_h = 0$

$A_h = - G_h$

Da hier eine weitere Berechnung nicht möglich ist, muss der zweite Teilkörper herangezogen werden, um $G_h$ zu berechnen.

Teilkörper 2

Begonnen wird mit dem Bezugspunkt beim Lager $B$, da somit $G_h$ berechnet werden kann:

$\curvearrowleft M^{(B)} = F_1 \cdot 2m - G_h \cdot 4m + G_v \cdot 4m = 0$

$0 = 20 \cdot 2m - G_h \cdot 4m + 15 \cdot 4m$

$G_h = 25 kN$.


Da $G_h$ nun bekannt ist, kann auch $A_h$ berechnet werden:

$A_h = - G_h = -25 kN$.

Zuletzt fehlen noch die Lagerreaktionen $B_v$ und $B_h$, die mittels der horizontalen und vertikalen Gleichgewichtsbedingung berechnet werden können:

$\uparrow  R_y = -F_1 - B_v - G_v = 0$

$0 = -20 - B_v - 15$

$B_v = -35 kN.$

$\rightarrow  R_x = G_h - B_h = 0$

$B_h = G_h = 25 kN.$