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Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke:

Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen

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Gegeben sei der folgende Zweigelenkbogen mit den Lagern $A$ und $B$, die beide gelenkig sind. Da es sich bei dem Lager $B$ um ein Loslager handelt, welches nach links und rechts verschiebbar ist, wird sich der Zweigelenkbogen bei der Einwirkung der Kräfte $F_1$ bis $F_4$ verschieben. 

Zweigelenkbogen
Zweigelenkbogen

Die statische Bestimmtheit des Zweigelenkbogen ist gegeben durch:

$r + v = 3 \cdot n$

mit

$r = 3$, $n = 1$, $v = 0$

$3 + 0 = 3 \cdot 1$

Um der Verschiebung, die durch das Loslager $B$ entsteht, entgegen zu wirken, wird dieses durch ein Festlager ausgetauscht. Allerdings ist dann die statische Bestimmtheit nicht mehr gegeben:

$r = 4$, $n = 1$, $v = 0$

$4 + 0 \neq 3 \cdot 1$

Es muss also zusätzlich ein Gelenk $G$ angebracht werden, welches aus dem Zweigelenkbogen ein Dreigelenkbogen macht und die statische Bestimmtheit wieder herstellt:

Dreigelenkbogen
Dreigelenkbogen

Die statische Bestimmtheit ist wieder hergestellt durch $r = 4$ Lagerreaktionen, $v = 2$ Kräfte, die das Gelenk übertragen kann und $n = 2$ Teilkörper.

$4 + 2 = 3 \cdot 2$

Ein Dreigelenkbogen muss nicht die Form eines Bogens besitzen. Dreigelenkbögen sind Tragwerke, die aus zwei Teilkörpern bestehen und gelenkig miteinander verbunden sind (drei Gelenke).

Anwendungsbeispiel: Dreigelenkbogen

Dreigelenkbogen Beispiel
Beispiel Dreigelenkbogen

Beispiel

Gegeben sei der obige Dreigelenkbogen mit den Lagern $A$ und $B$, dem Gelenk $G$ und den Kräften $F_1$ und $F_2$. Wie groß sind die Lagerkräfte und wie groß die Gelenkkräfte? Prüfe bitte auf statische Bestimmtheit!

Statische Bestimmtheit

Der obige Dreigelenkbogen hat $r = 2 + 2$ Lagerreaktionen, $v = 2$ Kräfte, die das Gelenk übertragen kann und $n = 2$ Teilkörper (durch das Gelenk entstehen zwei Teilkörper).

$r + v = 3 \cdot n$

$4 + 2 = 3 \cdot 2$

Der obige Dreigelenkbogen ist statisch bestimmt!

Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, wird als erstes das Freikörperbild gezeichnet. Hierbei werden die beiden Teilkörper, die durch das Gelenk verbunden sind, getrennt voneinander betrachtet:

Dreigelenkbogen Freikörperbild
Freikörperbild
Teilkörper 1

Durch Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen können die Lager- und Gelenkkräfte berechnet werden. Es ist sinnvoll den Bezugspunkt so zu wählen, dass bei der Momentengleichgewichtsbedingung möglichst viele Kräfte wegfallen. In diesem Fall wird der Bezugspunkt beim Lager $A$ gewählt, da so die vertikalen und horizontalen Lagerreaktionen $A_h$ und $A_v$, sowie die horizontale Gelenkkraft $G_h$ unberücksichtigt bleiben und $G_v$ berechnet werden kann:

$\curvearrowleft  M^{(A)} = -G_v \cdot 4m + F_2 \cdot 6m = 0$

$0 = -G_v \cdot 4m + 10 \cdot 6m$

$G_v = 15 kN.$

Als nächstes wird der Bezugspunkt beim Gelenk $G$ gesetzt:

$\curvearrowleft  M^{(G)} = -A_v \cdot 4m + F_2 \cdot 2m = 0$

$0 = -A_v \cdot 4m + 10 \cdot 2m$

$A_v = 5 kN$.

Die horizontale Gleichgewichtsbedingung wird nun herangezogen, um $A_h$ und $G_h$ zu berechnen:

$ \rightarrow  R_x = -A_h - G_h = 0$

$A_h = - G_h$

Da hier eine weitere Berechnung nicht möglich ist, muss der zweite Teilkörper herangezogen werden, um $G_h$ zu berechnen.

Teilkörper 2

Begonnen wird mit dem Bezugspunkt beim Lager $B$, da somit $G_h$ berechnet werden kann:

$\curvearrowleft M^{(B)} = F_1 \cdot 2m - G_h \cdot 4m + G_v \cdot 4m = 0$

$0 = 20 \cdot 2m - G_h \cdot 4m + 15 \cdot 4m$

$G_h = 25 kN$.


Da $G_h$ nun bekannt ist, kann auch $A_h$ berechnet werden:

$A_h = - G_h = -25 kN$.

Zuletzt fehlen noch die Lagerreaktionen $B_v$ und $B_h$, die mittels der horizontalen und vertikalen Gleichgewichtsbedingung berechnet werden können:

$\uparrow  R_y = -F_1 - B_v - G_v = 0$

$0 = -20 - B_v - 15$

$B_v = -35 kN.$

$\rightarrow  R_x = G_h - B_h = 0$

$B_h = G_h = 25 kN.$

Merke

Bei der Berechnung der Lagerreaktionen und Gelenkkräfte ist es wichtig, dass man die Gleichgewichtsbedingungen sinnvoll einsetzt, sodass alle Kräfte berechnet werden können.

Merke

Kräfte bei denen ein Minuszeichen bei der Berechnung resultiert, müssen entgegengesetzt als in der Zeichnung angenommen, eingezeichnet werden. So muss z.B. die Lagerkraft $B_v = -35 kN$ nach oben gerichtet eingezeichnet werden, dann aber mit einem positiven Vorzeichen.

Kommentare zum Thema: Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen

  • Jan Morthorst schrieb am 07.02.2015 um 10:14 Uhr
    Hallo Frau Pausch, es ist egal, ob Sie die Lagerkräfte nach unten gerichtet oder nach oben gerichtet einzeichnen. Sie können auch AV nach unten gerichtet und BV nach oben gerichtet bzw. andersherum einzeichnen. Das leibt Ihnen überlassen. Ebenso können Sie auch BH und/oder AH nach rechts statt nach links gerichtet einzeichnen. Mit dem Gelenk ist es ebenso. Wenn sie aber z.B, beim 1. Teilbalken die Gelenkkraft GH nach rechts gerichtet und die Gelenkkraft GV nach unten gerichtet einzeichnen, dann müssen Sie dies beim 2. Teilbalken entgegengesetzt einzeichnen (actio = reactio). Bei der Berechnung der Lagerkräfte/Gelenkkräfte ist es dann so: Resultiert bei der Berechnung eine negative Kraft, so wird diese genau entgegengesetzt zu der angenommenen Richtung eingezeichnet. Z.B, resultiert im obigen Beispiel für AH ein negativer Wert: -25 kN. Das bedeutet einfach, dass die Kraft nicht nach links gerichtet wirkt, sondern nach rechts gerichtet. Bei der weiteren Berechnung können Sie die Kraft dann einfach so stehen lassen (nach links gerichtet) und setzen jedes Mal den Wert -25kN ein. Haben Sie die Kraft nach rechts gerichtet angenommen, so wird bei Ihnen ein positiver Wert resultieren (also + 25kN) und Sie wissen, dass die Kraft genau in diese angenommen Richtung weist. Viele Grüße, Ihr Ingenieurkurse.de Team.
  • pausch nancy schrieb am 07.02.2015 um 09:41 Uhr
    Hallo! Woher weis ich denn das ich die Lagerkräfte AV und BV nach unten gerichtet antragen muss und warum in eine Richtung, woher erkenne ich das bei der Erstellung des FKB´s? Trage ich die Lagerkräfte falsch an wird meine Berechnung falsch???
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Autor: Jessica Scholz

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