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Technische Mechanik 1: Statik - Anwendungsbeispiel Gelenkbalken

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Technische Mechanik 1: Statik

Anwendungsbeispiel Gelenkbalken

Es ist häufig notwendig an einem Balken mehr als zwei Lager anzubringen. Das führt dazu, dass der Balken aber nicht mehr statisch bestimmt ist. Liegt keine Statische Bestimmtheit vor, so kann man die Lagerkräfte nicht mehr aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Um dieses Problem zu beheben, kann man Gelenke einfügen und den Balken somit in mehrere Teilbalken zerlegen. Um zu zeigen, wie das gemacht wird, folgt ein Beispiel.

Anwendungsbeispiel: Gelenkbalken

Beispiel

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Gegeben sei der obige Balken mit den drei Lagerkräften (A, B, C) und den zwei Kräften $F_1 = 20 N$ und $F_2 = 15 N$. Es sollen die Lagerkräfte bestimmt werden.

Statische Bestimmtheit

Zunächst wird der Balken auf statische Bestimmtheit überprüft:

$ f = 3 - r = 0$

$r$ ist hierbei die Anzahl der Lagerreaktionen. A ist ein Festlager, welches zwei Kräfte übertragen kann. B und C sind Loslager, die jeweils eine Kraft übertragen können.

$ f = 3 - 4 = -1$.

Der Balken ist statisch unbestimmt und die Lagerkräfte können nicht aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden. Es müssen also zusätzlich Gelenke hinzugefügt werden, um die statische Bestimmtheit wieder herzustellen.

Die Formel für die statische Bestimmtheit für mehrteilige Tragwerke in der Ebene ist:

$ r + v = 3 \cdot n $.

Es muss nun ein Gelenk hinzugefügt werden. Das bedeutet, dass der Balken in zwei Teilbalken ($n = 2$) zerlegt wird, die Lagerreaktionen bleiben bei $r = 4$. Ein Gelenk kann zwei Kräfte übertragen, deswegen gilt $v = 2$:

$ 4 + 2 = 3 \cdot 2 $.

Der Balken ist wieder statisch bestimmt und es können nun die Gleichgewichtsbedingungen verwendet werden, um die Lagerkräfte zu bestimmen.

Berechnung der Lagerreaktionen und Gelenkkräfte

Zur Berechnung der Lagerreaktionen und der Gelenkkräfte werden die drei Gleichgewichtsbedingungen herangezogen:

$R_x = 0$

$R_y = 0$

$M = 0$.

Dem Balken wurde nun ein Gelenk hinzugefügt und es können die Lagerkräfte und Gelenkkräfte bestimmt werden:

Das Gelenk $G$ überträgt zwei Kräfte (horizontal und vertikal). Um nun alle Lagerkräfte und die Gelenkkräfte zu bestimmen, muss der Balken in zwei Teile zerlegt werden. Und zwar wird der Balken genau dort geteilt, wo sich das Gelenk befindet:

Wichtig ist, dass die Gelenkkräfte $G_h$ und $G_v$ (dort wo der Balken geschnitten wird) bei beiden Teilbalken berücksichtigt werden, allerdings mit entgegengesetzter Wirkrichtung (actio = reactio). 

Es kann nun mit der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen begonnen werden. Es ist immer sinnvoll die Momentengleichgewichtsbedingungen heranzuziehen und den Bezugspunkt so zu wählen, dass möglichst viele Kräfte aus der Berechnung herausfallen. Es wird mit dem 1. Teilbalken begonnen:

$\curvearrowleft{A} : -G_v \cdot 5 m - F_1 \cdot 2m = 0 \; \rightarrow \; G_v = -F_1 \cdot \frac{2}{5} = -8 N$.

$\curvearrowleft{G} : -A_v \cdot 5 m + F_1 \cdot 3 m = 0 \; \rightarrow \; A_v = F_1 \cdot \frac{3}{5} = 12 N$.

$\rightarrow R_x : A_h + G_h = 0$.

Es wird als nächstes der 2. Teilbalken betrachtet:

$\curvearrowleft{B} : -G_v \cdot 3m + C \cdot 8 m = 0 \rightarrow \; C = G_v \frac{3}{8} = -8 N \frac{3}{8} = -3 N$.

$\curvearrowleft{C} : -G_v \cdot 11 m - B \cdot 8 m = 0 \rightarrow \; B = -G_v \frac{11}{8} = 8 N \frac{11}{8} = 11 N$.

$\rightarrow R_x : -G_h + F_2 = 0 \rightarrow \; G_h = F_2 = 15 N$.


Es kann nun auch die horizontale Gleichgewichtsbedingung des 1. Teilbalken nach $A_h$ aufgelöst werden:

$\rightarrow R_x : A_h + G_h = 0 \rightarrow A_h = -G_h = -15 N$.

Man kann nun zur Kontrolle das Kräftegleichgewicht am Gesamtbalken durchführen (ohne Gelenk). Dabei muss das Kräftegleichgewicht null ergeben:

$\rightarrow R_x : A_h + F_2 = 0$

$-15 N + 15 N = 0$   (Gleichgewichtsbedingung ergibt null)

$\uparrow R_y : A_v - F_1 + B + C = 0$

$12 N - 20 N + 11 N - 3N = 0$  (Gleichgewichtsbedingung ergibt null).