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Technische Mechanik 1: Statik - Statische Bestimmtheit ebener Tragwerke

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Technische Mechanik 1: Statik

Statische Bestimmtheit ebener Tragwerke

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Eine statische Bestimmtheit liegt vor, wenn die Anzahl der Lagerreaktionen gleich der Anzahl der möglichen Bewegungsrichtungen (Freiheitsgrade) ist. Das bedeutet, dass alle Lagerreaktionen, also Stützkräfte und -momente, allein mit Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen bestimmbar sind. Berechnet wird die statische Bestimmtheit mit:

Methode

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$f = r - 3$

mit

$r$ Auflagerreaktionen

 


Die $3$ steht für die drei Gleichgewichtsbedingungen. Ein System ist statisch bestimmt wenn gilt

$f = 0$.

Merke

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Ein Tragwerk ist statisch bestimmt, wenn die Anzahl der Lagerreaktionen gleich der Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen ist.

Allgemein wird die statische Bestimmtheit unter Berücksichtigung von Zwischenreaktionen und Teilsystemen über die Abzählformel bestimmt:

 

Methode

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$f = a + z - 3n$

mit

$a$ Summe aller möglichen Auflagerreaktionen

$z$ Anzahl an Zwischenreaktionen (z. B. Gelenkkräfte)

$n$ Anzahl der Teilsysteme

Wichtig: Die Abzählformel dient hierbei nur als notwendiges Kriterium! Das folgende Video veranschaulicht diesen Sachverhalt.

 Statische Bestimmtheit ist nur gewährleistet, wenn die Lager- und Gelenkkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden können. Das Abzählkriterium zeigt hierbei lediglich auf, dass die Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen mit denen der Lager- und Zwischenreaktionen übereinstimmt.

Erst das Determinantenkriterium als hinreichende Bedingung bestätigt, dass diese Reaktionen auch berechenbar sind!

Ein veranschaulichendes Beispiel zur Feststellung der statischen Bestimmtheit stellt ein Balken dar, welcher mit einem Loslager und einem Festlager gelagert ist. Das Festlager kann zwei Kräfte $ A_V $ und $ A_H $ übertragen und das Loslager nur die Kraft $ B $. Es sind somit $ r = 3 $ Lagerreaktionen gegeben, wodurch die Anzahl der Freiheitsgrade mit $ f = 3 - r = 0 $ auf null reduziert wird. Man sagt:

Der Balken ist statisch bestimmt!

Mithilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen können die drei Lagerkräfte berechnet werden. Es gilt die statische Bestimmtheit, wenn $f = 0$. Es gibt aber auch hier Ausnahmen.

Einen Ausnahmefall stellt ein Balken dar, welcher mit drei parallelen Loslagern gelagert ist. In diesem Fall handelt es sich um drei Pendelstützen. Obwohl drei unbekannte Lagerkräfte, als auch drei Gleichgewichtsbedingungen vorliegen, können die Lagerkräfte nicht aus den gegebenen Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden. Der Balken ist nämlich in horizontaler Richtung verschiebbar und kann demnach nicht mehr als starr angesehen werden, vielmehr muss seine Verformbarkeit berücksichtigt werden. 

Der Balken ist statisch unbestimmt! 

Merke

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Letzterer Fall ist jedoch Gegenstand der Festigkeitslehre und wird nicht innerhalb dieses Kurses behandelt. 

Damit ein Tragwerk im ebenen Fall als statisch bestimmt gelagert angesehen werden kann, muss in Bezug auf die Lagerreaktionen gegeben sein,

- dass drei Kräfte nicht parallel und nicht zentral sind, sowie

- dass bei zwei Kräften und einem Moment die zwei Kräfte nicht parallel zueinander sind. 

Statische Unbestimmtheit tritt auch dann auf, wenn die Anzahl der unbekannten Lagerreaktionen, die der zur Verfügung stehenden Gleichgewichtsbedingungen übersteigt. 

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenBeispiele hierfür sind:

- Zweigelenkbogen [ 4 Unbekannte, 3 Gleichungen]

- Balken mit zwei Loslagern und einem Festlager [ 4 unbekannte Lagerkomponenten, 3 Gleichungen]

Beide Probleme lassen sich aber durch Hinzufügen eines Zwischengelenks lösen.