Kursangebot | Technische Mechanik 1: Statik | Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken

Technische Mechanik 1: Statik

Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken

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Im Folgenden sollen die Schnittgrößen eines Balkens bestimmt werden. Betrachtet werden in diesem Fall nur Kräfte, die senkrecht zur Längsachse $ Q $ wirken, sowie Momente $ M $, die auf den Balken wirken. 

Merke

Zusatz: Die letzten drei Videos unten auf dieser Seite zeigen auch die Bestimmung der Schnittgrößen, wenn eine Kraft mit Winkel am Balken angreift!

Für die Bestimmung der Schnittgrößen am Balken empfiehlt sich die folgende Vorgehensweise:

Methode

1. Festlegung des Koordinatensystems, sofern dies nicht bereits vorgegeben ist.

2. Bestimmung der Auflagerreaktionen [Lager] am gesamten Balken. Hier erfolgt die Betrachtung am "noch ungeschnittenen" Balken unter Berücksichtigung aller von außen wirkenden Kräfte.

3. Zerlegung des Balkens in Bereiche, in denen ein Belastungswechsel durch äußere Kräfte und Momente auftritt.

4. Einzeichnen aller Schnittgrößen am positiven (linken) und/oder negativen (rechten) Schnittufer.

5. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen für den jeweiligen Teilbalken. Hierzu stehen in der Ebene die horizontale und vertikale Gleichgewichtsbedingung, sowie die Momentengleichgewichtsbedingung zur Verfügung.

6. Bestimmung der Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen.

7. Zur Visualisierung folgt eine Übertragung in ein Diagramm oder eine Darstellung durch die Schnittgrößenlinie. 

Schnitte am ebenen Balken sind immer dann notwendig, wenn Belastungswechsel (Unstetigkeiten) auftreten. Hierbei unterscheidet man zwischen statischen und geometrischen Unstetigkeiten. 

Statische Unstetigkeiten 

- Einzellasten,

- Knicke in Streckenlasten.

Geometrische Unstetigkeiten

- Knicke der Balkenachse,

- Verbindungselemente [wie beispielsweise Gelenke].

Die oben genannte Vorgehensweise wird im Folgenden anhand eines Beispiels und anhand von Videos demonstriert.

Anwendungsbeispiel: Bestimmung der Querkraftlinie und Momentenlinie eines belasteten Balkens

Beispiel

Gegeben sei ein Balken, welcher durch drei Einzelkräfte belastet wird. Der Balken selbst ist auf einem Loslager B und einem Festlager A gelagert.

$ F_1 = 10 kN, \; F_2 = 20 kN, \; F_3 = -10 kN  \rightarrow $ Es sind die Querkraftlinie und die Momentenlinie zu erstellen.
Schnittgrößen am Balken Beispiel
Beispiel: Balken

Koordinatensystem

Wie bereits im vorherigen Abschnitt dargestellt, befindet sich die Normalkraft am linken Schnittufer in Richtung der positiven x-Achse, die Querkraft vertikal nach unten gerichtet in Richtung der positiven z-Achse und das Biegemoment in Richtung der $y$-Achse mit einer Linksdrehung. Diese Koordinatenfestlegung ist wichtig bei Rahmen, beispielsweise um mittels der $x$- und $z$-Achse anzuzeigen, wo sich der Boden befindet.

Bei der Bestimmung der Auflagerkräfte hingegen wird wieder das Vorgehen aus den vorherigen Kapiteln übernommen. Alle Kräfte, die horizontal nach rechts zeigen, werden positiv in die horizontale Gleichgewichtsbedingung eingehen, alle Kräfte die vertikal nach oben zeigen, werden positiv in die vertikale Gleichgewichtsbedingung eingehen und alle Momente die eine Linksdrehung aufweisen, werden positiv in die Momentengleichgewichtsbedingung eingehen. 

Bestimmung der Lagerkräfte

Zuerst erfolgt die Bestimmung der Lagerkräfte $ A $ und $ B $ anhand der Momentengleichgewichtsbedingungen:

$\stackrel{\curvearrowleft}{A}: -2m \cdot F_1 - 6m \cdot F_2 - 8m \cdot F_3 + 11m \cdot B = 0$

$= -2m \cdot 10 kN - 6m \cdot 20 kN - 8m \cdot -10 kN + 11m \cdot B = 0$

$B = 5,45 kN$

Die Lagerkraft $B$ ist positiv und wurde demnach richtig angenommen eingezeichnet (nach oben gerichtet). 

$\stackrel{\curvearrowleft}{B}: 9m \cdot F_1 + 5m \cdot F_2 + 3m \cdot F_3 - 11m \cdot A = 0$

$ =  9m \cdot 10kN + 5m \cdot 20kN + 3m \cdot -10kN - 11m \cdot A = 0$

$A_v = 14,55 kN$

$A_h = 0$, da sonst keine horizontalen Kräfte vorhanden.

Bestimmung der Querkraft

Die notwendigen Schnittgrößen folgen aus dem Gleichgewicht am geschnitten Balken. Mit Hilfe des Kräftegleichgewichts lässt sich die Querkraft der einzelnen Bereiche für den linken Balken bestimmen. Da die Querkraft am linken Teilbalken vertikal nach unten gerichtet ist, geht diese mit negativem Vorzeichen in die vertikale Gleichgewichtsbedingung ein:

Schnitt zwischen $A$ und $F_1$ $(0 \le x \le 2)$:

$\uparrow  : A_v - Q = 0 \; \rightarrow Q = A_v = 14,55 kN$

Schnitt zwischen $F_1$ und $F_2$ $(2 \le x \le 6)$:

$\uparrow : A_v - F_1 - Q = 0 \; \rightarrow Q = A_v - F_1 = 4,55 kN$

Schnitt zwischen $F_2$ und $F_3$ $(6 \le x \le 8)$:

$\uparrow : A_v - F_1 - F_2 - Q = 0 \; \rightarrow Q = A_v - F_1 - F_2 = -15,45 kN$

Schnitt zwischen $F_3$ und $B$ $(8 \le x \le 11)$:

$\uparrow : A_v - F_1 - F_2 - F_3 - Q = 0 \; \rightarrow Q = A_v - F_1 - F_2 - F_3 = -5,45 kN$

In der folgenden Grafik (a) sind die vier Schnitte noch einmal grafisch veranschaulicht. In der Grafik (b) wird anhand des ersten Schnittes gezeigt, wie die Querkraft wirkt und dass diese nach unten gerichtet in die vertikale Gleichgewichtsbedingung eingeht (negativ da nach unten gerichtet).

Schnittgrößen am Balken
Schnittgrößen am Balken: Querkraft Q und Biegemoment M

Bestimmung des Biegemoments 

Das Biegemoment für die einzelnen Schnitte wird aus dem Momentengleichgewicht berechnet. Der Bezugspunkt liegt dabei immer im Schnitt und wird bezeichnet mit $S$. Die Vorzeichenkonvention ist wie im gesamten Kurs: Bei einer Linksdrehung positiv, bei einer Rechtsdrehung negativ. Am positiven linken Schnittufer besitzt das Biegemoment $M$ eine Linksdrehung und geht damit mit positivem Vorzeichen in die Berechnung ein. Die Querkaft $Q$, welche durch den Bezugspunkt $S$ verläuft, wird bei der Momentenbestimmung nicht berücksichtigt, da kein Hebelarm vorliegt (Kraft $Q$ schneidet bereits den Bezugspunkt).

  • Schnitt zwischen $A$ und $F_1$ $(0 \le x \le 2)$:

$\stackrel{\curvearrowleft}{S} = M - x \cdot A_v = 0 $

$M = x \cdot 14,55 kN$

Hierbei ist wichtig, wo genau der Schnitt gesetzt wird, da bei der Momentenberechnung der Abstand der Kraft hin zum Bezugspunkt (der Schnitt) wichtig ist. Allgemein kann dabei der 1. Schnitt überall zwischen 0 und 2 m gesetzt werden. Wird dieser bei 1,5 m gesetzt, so wäre $x = 1,5m$. Der Schnitt stellt den Bezugspunkt dar, befindet sich also rechts von $A_v$. Da $A_v$ nach oben wirkt, dreht sich der Balken rechts um den Bezugspunkt, d.h. $A_v \cdot x$ ist negativ.

  • Schnitt zwischen $F_1$ und $F_2$ $(2 \le x \le 6)$:

$\stackrel{\curvearrowleft}{S} = M - x \cdot A_v + (x - 2 m) F_1 = 0$

$M = x \cdot 14,55 kN - x \cdot 10 + 2m \cdot 10 kN $

$= x(14,55 kN - 10 kN) + 20 kNm = 4,55 kN \cdot x + 20 kNm$.

  • Schnitt zwischen $F_2$ und $F_3$ $(6 \le x \le 8)$:

$\stackrel{\curvearrowleft}{S} = M - x \cdot A_v + (x - 2m) F_1 + (x - 6m) F_2 = 0$

$M = 14,55 kN \cdot x - x \cdot F_1 + 2m \cdot F_1 - x \cdot F_2 + 6m \cdot F_2$

$= x \cdot 14,55 kN - x \cdot 10 kN + 2m \cdot 10 kN - x \cdot 20 kN + 6m \cdot 20 kN = x(14,55 kN - 10 kN - 20 kN) + 20 kNm + 120 kNm = -15,45 kN \cdot x + 140 kNm$.

  • Schnitt zwischen $F_3$ und $B$ $(8 \le x \le 11)$:

$\stackrel{\curvearrowleft}{S} = M - x \cdot A_v + (x - 2m) F_1 + (x - 6m) F_2 + (x - 8m) F_3 $

$M = -5,45 kN \cdot x + 60 kNm$.

Merke

Will man das Momentengleichgewicht sofort als Biegemoment angeben (also M = ...) und nicht erst (S = ...), dann gilt die Vorzeichenkonvention genau anders herum.

Querkraftlinie

Die Querkraftlinie wird so eingezeichnet, dass innerhalb der Intervalle keine Änderung auftritt. Das bedeutet also, dass in dem ersten Intervall $(0 \le x \le 2)$ die Querkraft $Q = 14,55 kN$ positiv ist (also nach oben zeigt) und sich erst ändert, wenn das nächste Intervall betrachtet wird. Dort ist die Querkraft $Q = 4,55 kN$ (ebenfalls nach oben gerichtet). Im nächsten Teilintervall ist die Querkraft dann $Q = -15,45 kN$, also negativ und demnach nach unten gerichtet. In der Grafik (a) sind die Querkräfte eingezeichnet, in der Grafik (b) dann die Querkraftlinie, die genau zeigt wie lange (in welchem Intervall) eine Querkraft wirkt und wann eine Änderung eintritt.

Darstellung der Querkraftlinie
Querkraftlinie

Diese Lösungsschema lässt sich in gleicher Weise auch auf andere Balkenaufgaben übertragen. 

Momentenlinie

Die Momentenlinie wird aus dem Biegemoment für die jeweiligen Intervalle bestimmt. Für $x$ werden die Werte innerhalb des Intervalls eingegeben, die Punkte die sich ergeben eingezeichnet und dann die Punkte miteinander verbunden. Es entsteht die Momentenlinie. Das Biegemoment im ersten Schnitt zwischen $A$ und $F_1$ also im Intervall [0, 2] ist $x \cdot 14,55 kN$. Es werden nun die Werte für $x$ im Intervall [0,2] eingegeben und die Punkte miteinander verbunden. Es reicht wenn man den ersten und den letzten Wert des Intervalls (also 0 und 2) für x eingibt und die Punkte miteinander verbindet. Analog verfährt man mit den Biegemomenten für die restlichen Intervalle (z.B. für das zweite Intervall [2,6] gibt man die Werte in die Gleichung für das Biegemoment ein und verbindet die Punkte). Grafisch ergibt sich folgende Momentenlinie:

Darstellung der Momentenlinie
Momentenlinie

Der Zusammenhang zwischen Momentenlinie und Querkraftlinie ist so, dass bei positiver Querkraft die Momentenlinie eine positive Steigung und bei negativer Querkraft eine negative Steigung aufweist.

Merke

Liegt keine vertikale Streckenlast (verteilte Last) $q(x)$ vor, so ist die Querkraft bei vertikalen Kräften konstant und damit der Verlauf des Biegemoments linear. Im obigen Beispiel ist die Querkraft in jedem Bereich konstant und damit das Biegemoment in jedem Bereich linear. Die Ableitung des Biegemoments ergibt die Querkraft.

Videos: Schnittgrößen am Balken

Video: Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken

Video: Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken

Video: Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken

Videos: Schnittgrößen am Balken (Kraft mit Winkel)

In dem letzten Video ist für das letzte Biegemoment $M_3$ statt $Nm$ nur $N$ angegeben. Korrekt muss es heißen:

Merke

$M_3 = -69N \cdot x + 2.415 Nm$

Video: Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken

Video: Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken

Video: Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken