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Technische Mechanik 1: Statik

Schnittgrößen am Rahmen

Alle bisherigen Annahmen, welche bezüglich der Schnittgrößenbestimmung am Balken getroffen wurden, lassen sich allgemein auch auf Rahmen übertragen. Rahmen sind Tragwerke von starr miteinander verbundenen abgewinkelten Balken. Jedoch gilt zu beachten, dass in diesem Abschnitt nur Rahmen mit geraden Rahmenteilen betrachtet werden, und Bögen davon ausgenommen sind. 

Die Bestimmung der Schnittgrößen am Rahmen erfolgt punktweise, dh. es werden Punkte am Rahmen gewählt aus deren Gleichgewicht am geschnittenen Rahmen die Schnittgrößen bestimmt werden können. Die Punkte werden an Auflagern, an Knicken und Verzweigungen gesetzt. Wie bereits bekannt orientiert sich das Vorzeichen der einzelnen Schnittkräfte an der gestrichelten Faser. Da im Gegensatz zu Balken neben den Querkräften auch Normalkräfte am Rahmen auftreten, ist die Berechnung aller drei Schnittgrößen erforderlich. Besondere Aufmerksamkeit ist hierbei den Übergängen der Schnittgrößen am Rahmen zu schenken. 

Schnittgrößen am Rahmen
Rahmen: Beispiel

In der obigen Grafik ist ein Rahmen dargestellt auf den die verteilte Last $q_0 \cdot 2a$ die Kraft $F$ und $2F$ sowie die Lagerkräfte $A_h$, $A_v$ und $B$ wirken. Da $q_0 = F/a$ ist die verteilte Last $q_0 \cdot 2a = F/a \cdot 2a = 2F$ und wird in die Mitte gelegt. 

Bestimmung der Lagerreaktionen

Zunächst werden die Lagerreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet:

(1) $\uparrow : B + A_v - F = 0$

(2) $\rightarrow : 2F + A_h - q_0 \cdot 2a = 0$

(3) $\stackrel{\curvearrowleft}{A}: B \cdot 3a - 2F \cdot a + F \cdot 2a + q_0 \cdot 2a \cdot a = 0$

Aus (2): $A_h = -2F + q_0 \cdot 2a = 0$                     |$q_0 \cdot 2a = 2F$

Aus (3): $B = -\frac{2}{3}F$

Aus (1): $A_v = \frac{5}{3} F$ 

Es werden nun dort Schnitte durchgeführt, wo Auflager, Kräfte oder Verzweigungen zu finden sind. Nach einem Schnitt wird immer der linke Rahmenteil betrachtet und hierfür die Querkraft, Normalkraft und das Biegemoment berechnet. Ein Punkt wird immer dann gesetzt, wenn sich eine dieser Kräfte ändert. 

Schnittgrößen am Rahmen Punkte
Punkte an denen Schnitt durchgeführt werden

Bestimmung der Schnittgrößen für Punkt 1

Schnittgrößen am Rahmen Punkt1
1. Schnitt bei P1

Die $x$-Achse verläuft parallel zur gestrichelten Linie (so wie die Normalkraft). Das bedeutet mittels der horizontalen Gleichgewichtsbedingung lässt sich die Normalkraft ermitteln:

$ \rightarrow : N_1 = 0$

Mittels der vertikalen Gleichgewichtskraft lässt sich die Querkraft berechnen:

$\uparrow : -Q_1 - F = 0 \rightarrow Q_1 = -F$

Mittels des Momentengleichgewichts (Bezugspunkt ist der Schnitt) lässt sich das Biegemoment berechnen:

$\stackrel{\curvearrowleft}{P1}: M_1 = 0$

Bestimmung der Schnittgrößen für Punkt 2

$ \rightarrow : N_2 = 0$

$\uparrow : -Q_2 - F = 0 \rightarrow Q_2 = -F$

$\stackrel{\curvearrowleft}{P2}: M_2 + F \cdot 2a = 0 \rightarrow M_2 = -2a F$

Bestimmung der Schnittgrößen für Punkt 3

Die gestrichelte Linie deutet immer in Richtung der positiven $x$-Achse (so wie die Normalkraft). Die Berechnung der Schnittgrößen erfolgt, indem man sich den Rahmenteil um 90° gedreht (Rechtsdrehung) vorstellt.

$ \rightarrow : N_3  + A_v = 0 \rightarrow N_3 = -\frac{5}{3} F$

$\uparrow : -Q_3 - 2F - A_h = 0 \rightarrow Q_3 = -2F$

$\stackrel{\curvearrowleft}{P3}: M_3 + 2F \cdot a + A_h \cdot 2a = 0 \rightarrow M_3 = -2a F$.

Bestimmung der Schnittgrößen für Punkt 4

$\rightarrow : N_4 + A_v = 0 \rightarrow N_4 = -A_v = -\frac{5}{3} F$.

$\uparrow : -Q_4 - 2F - A_h = 0 \rightarrow Q_4 = -2F - A_h = -2F$

$\stackrel{\curvearrowleft}{P4}: M_4 + A_h \cdot 2a = 0 \rightarrow M_4 = 0$.

Bestimmung der Schnittgrößen für Punkt 5

$\rightarrow : N_5 + A_v = 0 \rightarrow N_5 = -A_v = -\frac{5}{3} F$.

$\uparrow : -Q_5 - A_h = 0 \rightarrow Q_5 = 0$

$\stackrel{\curvearrowleft}{P5}: M_5 = 0$

Bestimmung der Schnittgrößen für Punkt 6

$\rightarrow : N_6 + 2F + A_h = 0 \rightarrow N_6 = -2F$

$\uparrow : -Q_6 - F  + A_v = 0 \rightarrow Q_6 = \frac{2}{3} F$

$\stackrel{\curvearrowleft}{P6}: M_6 + F \cdot 2a + 2F \cdot a + A_h \cdot 2a = 0$

$M_6 = -2aF - 2aF = -4aF$

Bestimmung der Schnittgrößen für Punkt 7

$\rightarrow : N_7 + 2F + A_h = 0 \rightarrow N_7 = -2F$

$\uparrow : -Q_7 - F  + A_v = 0 \rightarrow Q_7 = \frac{2}{3} F$

$\stackrel{\curvearrowleft}{P7}: M_7 + F \cdot 5a + 2F \cdot a + A_h \cdot 2a - A_v \cdot 3a= 0$

$M_7 = -2aF$

Bestimmung der Schnittgrößen für Punkt 8

Der Punkt 8 befindet sich im Eckübergang von Punkt 7 nach Punkt 8 (durchgehende gestrichelte Linie). Es werden bei der Berechnung der Schnittgrößen im Punkt 8 alle Schnittgrößen des linken Rahmenteils betrachtet. Dies ist bereits im Punkt 7 geschehen, denn hier wurden bereits alle Kräfte berücksichtigt. Da zwischen Punkt 7 und Punkt 8 keine Kraft mehr wirkt, kann man folgende Relation verwenden:

Methode

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Freischneiden des Rahmens

Weist die Ecke eines Rahmens einen Rechten Winkel auf, so gelten folgende Relationen (wenn gestrichelte Linie durchgängig ist):

$ N_7 = - Q_8 \rightarrow $  Aus der Normalkraft am Rahmenteil 1 wird eine Querkraft am Rahmenteil 2 mit negativem Vorzeichen.

$ N_8 = Q_7 \rightarrow $   Aus der Normalkraft am Rahmenteil 2 wird eine Querkraft am Rahmenteil 1 mit positivem Vorzeichen.

$ M_7 = M_8 \rightarrow $ Biegemoment werden ohne Änderung übertragen.

Die verteilte Last wurde bereits am Anfang in die Mitte gelegt und betrifft somit den Punkt 8 nicht.

$ Q_8 = - N7 = 2F$

$ N_8 =  Q_7 = \frac{2}{3} F$

$M_8 = M_7 = -2aF$

Bestimmung der Schnittgrößen für Punkt 9

Der letzte Punkt wird beim Lager B gesetzt. Hier wird auch die verteilte Last mit berücksichtigt:

$\rightarrow : N_9 - B - A_v + F = 0 \rightarrow N_9 = 0$

$\uparrow : -Q_9 - q_0 \cdot 2a + 2F + A_h = 0 \rightarrow Q_9 = 0$

$\stackrel{\curvearrowleft}{P9}: M_9 + F \cdot 5a - 2F \cdot a - A_v \cdot 3a + q_0 \cdot 2a \cdot a = 0$

$M_9 = -5aF + 2aF + 5aF - 2aF  = 0$

Wenn man sich die Schnittgrößen für die einzelnen Punkte genau betrachtet, dann erkennt man, dass sich häufig nur eine Schnittgröße ändert. Bei Betrachtung der Punkt 8 und 9 beispielsweise ändern sich alle Schnittgrößen aufgrund der verteilten Last die im Punkt 9 noch mit berücksichtigt werden muss. Hingegen tritt bei Punkt 6 und 7 nur eine Änderung im Biegemoment auf. Dies liegt daran, dass die Punkte 6 und 7 genau die gleichen Kräfte für die Bestimmung der Querkraft und der Normalenkraft berücksichtigen, allerdings bei der Momentenbetrachtung im Punkt 7 noch zusätzlich die vertikale Lagerkraft $A_v$ berücksichtigt werden muss. Diese hat das Moment $A_v \cdot 3a = 2aF$ und reduziert den Moment aus Punkt 6 um diesen Wert. Im Punkt 6 wird diese nicht berücksichtigt da die Wirkungslinie von $A_v$ im Punkt 6 liegt und damit kein Hebelarm existiert. Man könnte noch einen Punkt zwischen P8 und P9 setzen (dort wo die verteilte Last angreift). Die Normalenkraft und die Querkraft wären identisch mit denen von P9, allerdings würde sich das Biegemoment ändern, da die verteilte Last nicht berücksichtigt würde.