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Technische Mechanik 1: Statik - Flächenschwerpunkte

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Technische Mechanik 1: Statik

Flächenschwerpunkte

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Inhaltsverzeichnis

Für die Berechnung eines FlächenSchwerpunktes einer Fläche $A =\int dA$ wird die Fläche ebenfalls in kleine Rechtecke zerlegt und dann integriert. Die Bestimmung des Abstandes erfolgt hier nicht nur in $x$-Richtung, sondern auch in $y$-Richtung. In der folgenden Grafik ist eine rechteckige Fläche gegeben mit der Höhe $h$ und der Breite $a$. Gesucht wird der Schwerpunkt dieser Fläche $A$.

Flächenschwerpunkt
Flächenschwerpunkt


Um die x-Koordinate des Schwerpunkts $x_s$ zu berechnen, wählt man als Flächenelement $dA$ einen infinitesimalen Streifen mit der Breite $dx$ und der Höhe $y$:

Flächenschwerpunkt x
Flächenschwerpunkt x

Da die Höhe für jedes Teilrechteck überall $y = h$ ist, gilt $dA = y \; dx = h \; dx$. Mithilfe der folgenden (bereits bekannten) Formel kann jetzt der Abstand berechnet werden:

Merke

$ x_s = \frac{\int x \; dA}{\int dA}$   bzw.    $x_s = \frac{1}{A} \int x \; d A $

Nenner: $\int dA = \int y(x) \; dx = \int h \; dx = \int\limits_0^a \; h \; dx = [x \; h]_0^a = ha$.  

Zähler: $\int x dA = \int x \; y(x) \; dx = \int\limits_0^a x \; h \; dx = [\frac{1}{2} x^2 \; h]_0^a = \frac{1}{2} a^2 h$.

Formel anwenden:

$x_s = \frac{\frac{1}{2} a^2 h}{ha} = \frac{1}{2} a$

Zur Bestimmung von $y_s$ wird das Flächenelement mit der Breite $x$ und der Höhe $dy$ gewählt:

Flächenschwerpunkt y
Flächenschwerpunkt y

Da die Breite für jedes Teilrechteck überall $x = a$ ist, gilt $dA = x \; dy = a dy$. Mithilfe der folgenden (bereits bekannten) Formel kann jetzt der Abstand berechnet werden:

Merke

$ y_s = \frac{\int y \; dA}{\int dA}$   bzw.   $y_s = \frac{1}{A} \int y \; dA $

Nenner: $\int dA = \int x(y) \; dy = \int a \; dy = \int\limits_0^h \; a \; dy = [y \; a ]_0^h = ah$.  

Zähler: $\int y \; dA = \int y \; x(y) \; dy = \int\limits_0^h y \; a \; dy = [\frac{1}{2} y^2 \; a]_0^h = \frac{1}{2} h^2 a$.

Formel anwenden:

$y_s = \frac{\frac{1}{2} h^2 a}{ah} = \frac{1}{2} h$

Das Ergebnis ist, dass der Schwerpunkt genau in der Mitte des Rechtecks liegt.

Schwerpunkt
Schwerpunkt

Zusammengesetzte Flächen

Da in der Praxis häufig Flächen aus mehreren Teilflächen $ A_i $ zusammengesetzt sind und man nur deren jeweilige Schwerpunktlage $ x_i, y_i $ kennt, müssen die obigen zwei Gleichungen entsprechend angepasst werden. 

$ x_s = \frac{1}{A} \int x \; dA = \frac{1}{A} { \int_{A_1} x \; dA + \int_{A_2} x \; dA + \int_{A_3} x \; dA + ...} $

$ y_s = \frac{1}{A} \int y \; dA = \frac{1}{A} { \int_{A_1} y \; dA + \int_{A_2} y \; dA + \int_{A_3} y \; dA + ...} $

Da alle Integrale entfallen, erhält man schließlich vereinfacht:

$ x_s = \frac{1}{A} (x_1 A_1 + x_2 A_2 + x_3 A_3 + ....) \rightarrow x_s = \frac{\sum x_i A_i}{\sum A_i} $

$ y_s = \frac{1}{A} (y_1 A_1 + y_2 A_2 + y_3 A_3 + ....) \rightarrow y_s = \frac{\sum y_i A_i}{\sum A_i} $

Diese Schreibweise hat gleichzeitig den Vorteil, dass sie problemlos für Flächen mit Aussparungen verwendet werden kann, sofern die "fehlenden" Flächen mit einem negativen Vorzeichen versehen werden. 

Video: Flächenschwerpunkt für Rechteck und zusammengesetzte Flächen

Video: Flächenschwerpunkte

Für die Berechnung eines Flächenschwerpunktes einer Fläche wird die Fläche ebenfalls in kleine Rechtecke zerlegt und dann integriert. Die Bestimmung des Abstandes erfolgt hier nicht nur in x-Richtung, sondern auch in y-Richtung. In der folgenden Grafik ist eine rechteckige Fläche gegeben mit der Höhe h und der Breite b. Gesucht wird der Schwerpunkt dieser Fläche A.

Video: Flächenschwerpunkte

Für die Berechnung eines Flächenschwerpunktes einer Fläche wird die Fläche ebenfalls in kleine Rechtecke zerlegt und dann integriert. Die Bestimmung des Abstandes erfolgt hier nicht nur in x-Richtung, sondern auch in y-Richtung. In der folgenden Grafik ist eine rechteckige Fläche gegeben mit der Höhe h und der Breite b. Gesucht wird der Schwerpunkt dieser Fläche A.