Kursangebot | Technische Mechanik 1: Statik | Flächenschwerpunkte

Technische Mechanik 1: Statik

Flächenschwerpunkte

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Für die Berechnung eines FlächenSchwerpunktes einer Fläche $A =\int dA$ wird die Fläche ebenfalls in kleine Rechtecke zerlegt und dann integriert. Die Bestimmung des Abstandes erfolgt hier nicht nur in $x$-Richtung, sondern auch in $y$-Richtung. In der folgenden Grafik ist eine rechteckige Fläche gegeben mit der Höhe $h$ und der Breite $a$. Gesucht wird der Schwerpunkt dieser Fläche $A$.

Flächenschwerpunkt
Flächenschwerpunkt


Um die x-Koordinate des Schwerpunkts $x_s$ zu berechnen, wählt man als Flächenelement $dA$ einen infinitesimalen Streifen mit der Breite $dx$ und der Höhe $y$:

Flächenschwerpunkt x
Flächenschwerpunkt x

Da die Höhe für jedes Teilrechteck überall $y = h$ ist, gilt $dA = y \; dx = h \; dx$. Mithilfe der folgenden (bereits bekannten) Formel kann jetzt der Abstand berechnet werden:

Merke

$ x_s = \frac{\int x \; dA}{\int dA}$   bzw.    $x_s = \frac{1}{A} \int x \; d A $

Nenner: $\int dA = \int y(x) \; dx = \int h \; dx = \int\limits_0^a \; h \; dx = [x \; h]_0^a = ha$.  

Zähler: $\int x dA = \int x \; y(x) \; dx = \int\limits_0^a x \; h \; dx = [\frac{1}{2} x^2 \; h]_0^a = \frac{1}{2} a^2 h$.

Formel anwenden:

$x_s = \frac{\frac{1}{2} a^2 h}{ha} = \frac{1}{2} a$

Zur Bestimmung von $y_s$ wird das Flächenelement mit der Breite $x$ und der Höhe $dy$ gewählt:

Flächenschwerpunkt y
Flächenschwerpunkt y

Da die Breite für jedes Teilrechteck überall $x = a$ ist, gilt $dA = x \; dy = a dy$. Mithilfe der folgenden (bereits bekannten) Formel kann jetzt der Abstand berechnet werden:

Merke

$ y_s = \frac{\int y \; dA}{\int dA}$   bzw.   $y_s = \frac{1}{A} \int y \; dA $

Nenner: $\int dA = \int x(y) \; dy = \int a \; dy = \int\limits_0^h \; a \; dy = [y \; a ]_0^h = ah$.  

Zähler: $\int y \; dA = \int y \; x(y) \; dy = \int\limits_0^h y \; a \; dy = [\frac{1}{2} y^2 \; a]_0^h = \frac{1}{2} h^2 a$.

Formel anwenden:

$y_s = \frac{\frac{1}{2} h^2 a}{ah} = \frac{1}{2} h$

Das Ergebnis ist, dass der Schwerpunkt genau in der Mitte des Rechtecks liegt.

Schwerpunkt
Schwerpunkt

Flächenschwerpunkt für zusammengesetzte Flächen

Da in der Praxis häufig Flächen aus mehreren Teilflächen $ A_i $ zusammengesetzt sind und man nur deren jeweilige Schwerpunktlage $ x_i, y_i $ kennt, müssen die obigen zwei Gleichungen entsprechend angepasst werden. 

$ x_s = \frac{1}{A} \int x \; dA = \frac{1}{A} { \int_{A_1} x \; dA + \int_{A_2} x \; dA + \int_{A_3} x \; dA + ...} $

$ y_s = \frac{1}{A} \int y \; dA = \frac{1}{A} { \int_{A_1} y \; dA + \int_{A_2} y \; dA + \int_{A_3} y \; dA + ...} $

Da alle Integrale entfallen, erhält man schließlich vereinfacht:

Methode

$ x_s = \frac{1}{A} (x_1 A_1 + x_2 A_2 + x_3 A_3 + ....) \rightarrow x_s = \frac{\sum x_i A_i}{\sum A_i} $

$ y_s = \frac{1}{A} (y_1 A_1 + y_2 A_2 + y_3 A_3 + ....) \rightarrow y_s = \frac{\sum y_i A_i}{\sum A_i} $

Diese Schreibweise hat gleichzeitig den Vorteil, dass sie problemlos für Flächen mit Aussparungen verwendet werden kann, sofern die "fehlenden" Flächen mit einem negativen Vorzeichen versehen werden. 

Vorgehen für zusammengesetzte Fläche:

1. Zerlegung der Fläche in Teilfläche, für welche die Schwerpunktlage bekannt ist. 

2. Schwerpunkte der Teilflächen eintragen

3. Bezugskoordinatensystem festlegen. Das Bezugskoordinatensystem kann beliebig gewählt werden. Die Abmessungen vom Ursprung des Bezugskoordinatensystems zu den Schwerpunkten müssen gegeben sein.

4. Abstände in $x$ und $y$-Richtung bestimmen (sofern $x,y$-Koordinatensystem zugrunde liegt). Dabei auf negative und positive Abstände achten. Ausgehend vom Bezugskoordinatensystem wird der Abstand positiv gewählt, wenn man sich zum Schwerpunkt der Einzelfläche in positive Achsenrichtung bewegt, ansonsten negativ. Sinnvoll ist es hier das Koordinatensystem so zu legen, dass die gesamte Fläche im 1. Quadraten liegt. Dann sind alle Abstände positiv.

5. Flächeninhalt $A_i$ der Teilflächen bestimmen.

6. Formel für zusammengesetzte Flächen anwenden.

Download: Aufgaben und Lösungen zu Flächenschwerpunkten

Beispiel

Video: Flächenschwerpunkte berechnen 

Video: Flächenschwerpunkte

Video: Flächenschwerpunkte