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In diesem Abschnitt soll es um Variablen gehen, welche im linearen Optimierungsproblem untere $\lambda_j$ Schranken aufweisen. Es soll gezeigt werden, wie man solche Optimierungsmodelle lösen kann.
Untere Schranken
Es ist möglich untere Schranken $\lambda_j$ durch eine Variablentransformation in das Optimierungsproblem zu integrieren. Die Variablentransformation ergibt sich zu:
Beispiel: Untere Schranken
Gegeben sei das folgende Optimierungsproblem:
$f(x_1, x_2) = x_1 + 2x_2$ $\rightarrow$ max!
u.d.N
$x_1 + 5x_2 \le 500$
$5x_1 + x_2 \le 250$
$x_1 \ge 10$ und $x_2 \ge 20$
Es wird nun die Variablentransformation durchgeführt:
$x_1 = \overline{x}_1 + \lambda_1 = \overline{x}_1 + 10$
$x_2 = \overline{x}_2 + \lambda_2 = \overline{x}_2 + 20$
Einsetzen in das Maximierungsproblem ergibt:
$f(x_1, x_2) = \overline{x}_1 + 10 + 2 (\overline{x}_2 + 20)$ $\rightarrow$ max!
u.d.N
$\overline{x}_1 + 10 + 5(\overline{x}_2 + 20) \le 500$
$5(\overline{x}_1 + 10) + \overline{x}_2 + 20 \le 250$
$\overline{x}_1, \overline{x}_2 \ge 0$
Auflösen der Klammern ergibt dann:
$f(x_1, x_2) = \overline{x}_1 + 2 \overline{x}_2 + 50$ $\rightarrow$ max!
u.d.N
$\overline{x}_1 + 5\overline{x}_2 \le 390$
$5\overline{x}_1 + \overline{x}_2 \le 180$
$\overline{x}_1, \overline{x}_2 \ge 0$
Nachdem der primale Simplexalgorithmus angewandt worden ist und eine Optimallösung vorliegt, kann die Rücksubstitution mit
$x_1 = \overline{x}_1 + \lambda_1 $ und
$x_2 = \overline{x}_2 + \lambda_2 $
durchgeführt werden.
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