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Lineare Programmierung > Obere und untere Schranken bei Variablen:

Untere Schranken

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
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[weitere Informationen] [Terminübersicht]

In diesem Abschnitt soll es um Variablen gehen, welche im linearen Optimierungsproblem untere $\lambda_j$ Schranken aufweisen. Es soll gezeigt werden, wie man solche Optimierungsmodelle lösen kann.

Untere Schranken

Es ist möglich untere Schranken $\lambda_j$ durch eine Variablentransformation in das Optimierungsproblem zu integrieren. Die Variablentransformation ergibt sich zu:

Methode

$x_j := \overline{x}_j + \lambda_j$

Anwendungsbeispiel: Untere Schranken

Gegeben sei das folgende Optimierungsproblem:

$f(x_1, x_2) = x_1 + 2x_2$   $\rightarrow$  max!

u.d.N

$x_1 + 5x_2 \le 500$

$5x_1 + x_2 \le 250$


$x_1 \ge 10$ und $x_2 \ge 20$

Es wird nun die Variablentransformation durchgeführt:

$x_1 = \overline{x}_1 + \lambda_1 = \overline{x}_1 + 10$

$x_2 = \overline{x}_2 + \lambda_2 = \overline{x}_2 + 20$

Einsetzen in das Maximierungsproblem ergibt:

$f(x_1, x_2) = \overline{x}_1 + 10 + 2 (\overline{x}_2 + 20)$   $\rightarrow$  max!

u.d.N

$\overline{x}_1 + 10 + 5(\overline{x}_2 + 20) \le 500$

$5(\overline{x}_1 + 10) + \overline{x}_2 + 20 \le 250$


$\overline{x}_1, \overline{x}_2 \ge 0$

Auflösen der Klammern ergibt dann:

$f(x_1, x_2) = \overline{x}_1 + 2 \overline{x}_2 + 50$   $\rightarrow$  max!

u.d.N

$\overline{x}_1 + 5\overline{x}_2  \le 390$

$5\overline{x}_1 + \overline{x}_2  \le 180$


$\overline{x}_1, \overline{x}_2 \ge 0$


Nachdem der primale Simplexalgorithmus angewandt worden ist und eine Optimallösung vorliegt, kann die Rücksubstitution mit

$x_1 = \overline{x}_1 + \lambda_1 $  und

$x_2 = \overline{x}_2 + \lambda_2 $ 

durchgeführt werden.

Vorstellung des Online-Kurses Operations ResearchOperations Research
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

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  • Kurs: Operations Research 1 - Lineare Optimierung, Graphentheorie und Netzplantechnik
    • Einleitung zu Kurs: Operations Research 1 - Lineare Optimierung, Graphentheorie und Netzplantechnik
  • Lineare Programmierung
    • Einleitung zu Lineare Programmierung
    • Definition: Lineares Programm
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      • Einleitung zu Standardform: Maximierungsproblem
      • Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
        • Einleitung zu Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
        • Beispiel: Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
      • Umformung in die Standardform (Maximierungsproblem)
      • Umformung in die Normalform (Maximierungsproblem)
      • Simlpex-Algorithmus: Einführung
        • Einleitung zu Simlpex-Algorithmus: Einführung
        • Primales Simlpexverfahren
          • Einleitung zu Primales Simlpexverfahren
          • Primales Simplexverfahren: Anfangstableau aufstellen
          • Primales Simplexverfahren: Pivotspalte/-zeile/-element
          • Primales Simplexverfahren: 1. Simplexschritt
          • Primales Simplexverfahren: Weitere Simplexschritte (optimale Lösung)
          • Beispiel: Maximierungsproblem / grafische Lösung
          • Beispiel: Maximierungsproblem / Primales Simplexverfahren
        • Duales Simplexverfahren
          • Einleitung zu Duales Simplexverfahren
          • Duales Simplexverfahren: Pivotzeile/-spalte/-element
          • Duales Simplexverfahren: Simplexschritte
        • Die Big-M-Methode des primalen Simplexverfahrens
          • Einleitung zu Die Big-M-Methode des primalen Simplexverfahrens
          • Die Big-M-Methode: Einfügen von künstlichen Variablen
          • Die Big-M-Methode: Künstliche Variablen als Basisvariablen
          • Big-M-Methode: Simplexschritt durchführen
          • Big-M-Methode: Weiterer Simplexschritt (zulässige Lösung)
          • Big-M-Methode: Weitere Simplexschritte (optimale Lösung)
      • Kanonische Form, Standardform, Normalform
      • Zusammenfassung: Maximierungsproblem
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      • Dualität - Primalproblem als Maximierungsproblem
      • Dualität - Primalproblem als Minimierungsproblem
      • Dualität - Dualproblem in Primalproblem
      • Beispiel: Primalproblem als Minimierungsproblem
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    • Obere und untere Schranken bei Variablen
      • Untere Schranken
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      • Beispiel: Revidierter Simplex-Algorithmus
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