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Operations Research - Untere Schranken

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Operations Research

Untere Schranken

In diesem Abschnitt soll es um Variablen gehen, welche im linearen Optimierungsproblem untere $\lambda_j$ Schranken aufweisen. Es soll gezeigt werden, wie man solche Optimierungsmodelle lösen kann.

Untere Schranken

Es ist möglich untere Schranken $\lambda_j$ durch eine Variablentransformation in das Optimierungsproblem zu integrieren. Die Variablentransformation ergibt sich zu:

Methode

$x_j := \overline{x}_j + \lambda_j$

Beispiel: Untere Schranken

Gegeben sei das folgende Optimierungsproblem:

$f(x_1, x_2) = x_1 + 2x_2$   $\rightarrow$  max!

u.d.N

$x_1 + 5x_2 \le 500$

$5x_1 + x_2 \le 250$


$x_1 \ge 10$ und $x_2 \ge 20$

Es wird nun die Variablentransformation durchgeführt:

$x_1 = \overline{x}_1 + \lambda_1 = \overline{x}_1 + 10$

$x_2 = \overline{x}_2 + \lambda_2 = \overline{x}_2 + 20$

Einsetzen in das Maximierungsproblem ergibt:

$f(x_1, x_2) = \overline{x}_1 + 10 + 2 (\overline{x}_2 + 20)$   $\rightarrow$  max!

u.d.N

$\overline{x}_1 + 10 + 5(\overline{x}_2 + 20) \le 500$

$5(\overline{x}_1 + 10) + \overline{x}_2 + 20 \le 250$


$\overline{x}_1, \overline{x}_2 \ge 0$

Auflösen der Klammern ergibt dann:

$f(x_1, x_2) = \overline{x}_1 + 2 \overline{x}_2 + 50$   $\rightarrow$  max!

u.d.N

$\overline{x}_1 + 5\overline{x}_2  \le 390$

$5\overline{x}_1 + \overline{x}_2  \le 180$


$\overline{x}_1, \overline{x}_2 \ge 0$


Nachdem der primale Simplexalgorithmus angewandt worden ist und eine Optimallösung vorliegt, kann die Rücksubstitution mit

$x_1 = \overline{x}_1 + \lambda_1 $  und

$x_2 = \overline{x}_2 + \lambda_2 $ 

durchgeführt werden.