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Operations Research - Beispiel 1: Vorgangsknotennetzplan

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Operations Research

Beispiel 1: Vorgangsknotennetzplan

Beispiel

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Der Vorgang B (2 Tage) soll 2 Tage und der Vorgang C (3 Tage) soll 1 Tag nach Ende des Vorgangs A beginnen. Der Vorgang D (2 Tage) kann bereits 2 Tage vor Ende des Vorgangs A beginnen. Der Vorgang E (5 Tage) soll nach Abschluss des Vorgangs B beginnen. Der Vorgang F (5 Tage) soll 2 Tage nach Vorgang C und 4 Tage nach Vorgang D beginnen. Der Vorgang G (5 Tage) soll 2 Tage nach Vorgang E und kann bereits 4 Tage nach Beginn des Vorgangs F starten.

Stellen Sie einen Vorgangsknotennetzplan auf. Bestimmen Sie die frühestmöglichen sowie die spätestmöglichen Anfangs- und Endzeitpunkte und bestimmen Sie den kritischen Pfad.

Hinweis: Es ist der Mindestabstand der Normalfolge zu wählen

Es wird zunächst der Vorgangsknotennetzplan aufgestellt. Dabei wird von einem Mindestabstand der Normalfolge ausgegangen.

Vorgangsknotennetzplan Beispiel

Der Mindestabstand der Normalfolge (EA-Beziehung) bedeutet eine Ende-Anfangs-Beziehung. Die Pfeilbewertung wird dann wie folgt durchgeführt (Beispiel am Vorgang A-B, A-D, B-E und F-G). 

  • 2 Tage nach Abschluss (ENDE) des Vorganges A soll Vorgang B beginnen (ANFANG). Die 2 Tage können also sofort an den Pfeil geschrieben werden, da hier bereits eine EA-Beziehung vorliegt. 
  • Der Vorgang D (2 Tage) kann bereits 2 Tage vor Ende des Vorgangs A beginnen. Das bedeutet also eine EA-Beziehung, aber es kann bereits 2 Tage vor Ende mit dem Vorgang D begonnen werden kann. Die Pfeilbewertung fällt demnach negativ aus. 
  • Der Vorgang E (5 Tage) soll nach Abschluss (ENDE) des Vorgangs B beginnen (ANFANG). Hierbei handelt es sich um eine EA-Beziehung, allerdings ohne Mindestabstand, da sofort nach Ende des Vorgangs B mit E begonnen werden kann. 
  • Der Vorgang G (5 Tage) kann bereits 4 Tage nach Beginn des Vorgangs F starten. Hierbei handelt es sich um eine AA-Beziehung (Anfangsfolge). 4 Tage nach Beginn von Vorgang F kann G starten. Der Vorgang F dauert insgesamt 5 Tage, demnach kann man dies auch in Normalfolge (EA-Beziehung) ausdrücken: Der Vorgang G kann bereits 1 Tag vor Ende von Vorgang F beginnen. Hierbei ist wieder eine negative Pfeilbewertung zu wählen. 

Nachdem der Netzplan aufgestellt worden ist, kann als nächstes mit der Bestimmung der frühestmöglichen und spätestmöglichen Endzeitpunkte begonnen werden:

Vorgangsknotennetzplan Beispiel

Die Berechnung der Werte ist wie folgt vorgenommen worden:

Der früheste Anfangszeitpunkt $FAZ$ für einen Knoten wurde bestimmt, indem die Dauern der Vorgängerknoten plus der Mindestabstand (Pfeilbewetung) miteinander addiert worden sind. Bei mehreren Vorgängerknoten wird der maximale Wert gewählt. Z.B. für den Knoten F werden die Dauern der Vorgängerknoten plus Pfelibewertungen miteinander addiert:

$FAZ_F = max{10 + 1 + 3 + 2; 10 - 2 + 2 + 4} = 16$.


Der früheste Endzeitpunkt $FEZ$ wurde bestimmt, indem der früheste Anfangszeitpunkt mit der Dauer des Vorgangs addiert wurde. Zum Beispiel für den Knoten 7:

$FEZ_7 = 16 + 5 = 21$.

Danach wird mit dem spätesten Endzeitpunkt $SEZ$ begonnen. Ist kein Fertigstellungstermin in der Aufgabenstellung gegeben, so wird $SEZ_G = FEZ_G = 27$ gesetzt. Der späteste Endzeipunkt des letzten Vorgangs ist also gleich dem frühesten Endzeipunkt des letzten Vorgangs (hier: Vorgang G). Es ist nun für den Vorgang G der späteste Endzeipunkt mit $SEZ_G = 26$ bekannt. Danach wird der späteste Anfangszeitpunkt bestimmt, indem die Dauer des Vorgangs abgezogen wird:

$SAZ_G = 26 - 5 = 21$.

Es wird dann als nächstes der Vorgängerknoten von Vorgang G betrachtet (hier Vorgang E und F). Der spätesten Endzeitpunkt der Vorgänge ist gleich dem spätesten Anfangszeipunkt von Vorgang G: $SEZ_E = SEZ_F = SAZ_G = 21$. Bei mehreren Vorgängerknoten wird das Minimum gewählt. Dies ist der Fall bei Vorgang A. Dieser besitzt 3 Vorgängerknoten. Demnach ist $SEZ_A = SAZ_C = 13$.

Nachdem die Zeitpunkte bestimmt worden sind, wird als nächstes der Gesamtpuffer jedes Vorgangs bestimmt. Hierbei wird der früheste Anfangszeipunkt $FAZ$ vom spätesten Anfangszeipunkt $SAZ$ abgezogen. Für den Vorgang F gilt zum Beispiel:

$SAZ_F - FAZ_F = 21 - 21 = 0$.


Der kritische Pfad ist der Weg entlag der Vorgänge mit einem Gesamtpuffer von Null:

Vorgangsknotennetzplan Beispiel kritischer Pfad

Die Vorgänge A bis E dürfen sich verzögern ohne, dass der Fertigstellungstermin (hier: 26 Tage) verzögert wird. Die Vorgänge F und G hingegen dürfen keine Verzögerung aufweisen, da ansonsten der Fertigstellungstermin nicht eingehalten werden kann.