Miller'sche Indizes, Bestimmung von Gitterebenen

Miller'sche Indizes - Basics

Definition der Miller'schen Indizes

Unter Gitterebenen versteht man Ebenen, welche sich in das Gitter legen lassen und auf denen sich Atome befinden. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Netzebenen oder Atomebenen. Um diese Gitter genau beschreiben zu können, verwendet man die Miller'schen Indizes h,k,l. Hierzu legt man ein räumliches Koordinatensystem in das Gitter und setzt die Bereiche, die die Ebene von den Achsen abschneidet, zueinander ins Verhältnis. Die Achsenabschnitte werden hierbei nicht wie üblich in Längenmaßen wie cm oder nm beschrieben, sondern durch Gitterparameter. Dies hat zur Folge, dass beispielsweise im rhombischen Gittersystem der Wert 4 auf jeder Achse eine andere Länge besitzt. 

Zur Vermeidung von Indexen im Bereich unendlich und sehr großen Zahlen, verwendet man die reziproken Werte der Achsenabschnitte. Diese werden, wie bereits aus der Bestimmung der Gitterrichtungen bekannt, auf einen Hauptnenner gebracht, wodurch die Brüche beseitigt werden. Der Hauptnenner wird anschließend weggelassen, da diese keinen Einfluss auf das Zahlenverhältnis besitzt. 

Beispiel - Bestimmung der Gitterebenen

Um diesen Vorgang, sowie die Beschreibung der Gitterebenen besser nachvollziehen zu können, folgt nun ein Beispiel:

Ableiten der Indizes

Lösung und Ablaufschema

Zu Lösung einer derartigen Aufgabenstellung lässt sich das folgende  Ablaufschema verwenden:

Die, durch Gitterparameter beschriebenen Achsenabschnitte werden in der Reihenfolge a b c aufgeschrieben. Diese sind die sog. Ableitungskoeffizienten:

1. Ableitungskoeffizienten erfassen: $\rightarrow 1 \ 2 \ 1 $

2. Zahlen ins Verhältnis setzen: $\rightarrow 1: \ 2: \ 1 $

3. Reziproke Werte bilden: $\rightarrow \frac{1}{1} : \  \frac{1}{2} : \  \frac{1}{1} $

4. Hauptnenner bestimmen: $ \text{hier 2} \rightarrow \frac{2}{2} : \  \frac{1}{2} : \  \frac{2}{2} $

5. Hauptnenner streichen: $\rightarrow 2: \ 1: \ 2 $

6. Werte in Klammern setzen: $\rightarrow  (2: \ 1: \ 2) $

7. Verhältnispunkte weglassen: $\rightarrow  (2 \ 1 \ 2) $

8. Als Ergebnis erhält man die Miller'schen Indizes $ (h \ k \ l ) \rightarrow (2 \ 1 \ 2) $ 

Auch bei Gitterebenen gilt, dass bei negativen Achsenabschnitten negative Indizes im Ergebnis einen Strich über der Zahl erhalten.

Sonderfall kubisches Kristallsystem

Hier stimmen die Indizees von Gitterebenen und Gitterrichtungen überein.