Sonderfall: Richtungen und Ebenen im hexagonalen Gitter

Im hexagonalen System werden die Indizes der Richtungen und der Ebenen mit vier Ziffern beschrieben. Zu den bekannten Indizes $ u, v, w $ kommt bei den Gitterrichtungen das Indize $ t$ hinzu und bei Gitterebenen werden die Indizes $ h, k, l $ durch das Indize $ i$ ergänzt. Der Vorteil liegt hierbei in der besseren Darstellung der Symmetrie des Gitters.

Richtungsindizes im hexagonalen Gitter

Die Sortierung der Indizes ist wie folgt: $ [uvtw]$ und $[hkil]$

Bestimmung der Richtungsindizes

• Im ersten Schritt wird, wie in anderen Systeme, ein Richtungsvektor durch den Koordinatenursprung gelegt und bis zur nächsten Ecke einer Elementarzelle verlängert. 
  
  
• Im nächsten Schritt werden die in Gitterparametern gezählten Projektionen des Pfeils auf den Achsen $ a, b, d$ als Zahlen $ u, v, w $ abgelesen. Die Projektion auf der Achse $ c $ wird hingegen nicht abgelesen. 
  
  
• Jetzt ist es möglich aus den Werten $ u, v, w $ die vier Ziffern$  h,k,i $ und $ l $ zu berechnen

$ h = 2 u - v $

$ k = 2 v - u $

$ l = 3 w $

$ i = - (u + v) = - (h + k ) $

• Abschließend dividiert man die Ziffern durch den größten gemeinsamen Teiler und setzt sie in der Reihenfolge $ hkil $ in eckige Klammern.
  
  
• Somit sind die Richtungsindizes $ [hkil]$ 

Bestimmung der Indizes der Ebene

• Bei der Bestimmung der Ebenenindizes sind die Indizes wieder teilerfremde Reziprokwerte der Ebenenschnittpunkte mit den jeweiligen Achsen a,b,c,d. Ansonsten ist der Bestimmungsablauf wie gehabt. 
  
  
• Auch hier gilt die Bedingung: $ i = - (u + v) = - (h + k ) $