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Werkstofftechnik 1 - Bestimmung von Gitterrichtungen

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Werkstofftechnik 1

Bestimmung von Gitterrichtungen

Die Gitterrichtungen werden durch die von Atomen belegten Gittergeraden ausgedrückt. Zur Beschreibung von Gittergeraden verwendet man Vektoren, welche im Koordinatensystem vom Ursprung bis hin zum Schwerpunkt des betrachteten Atoms zeigen. Für die Gittergeraden verwendet man als Koordinaten ganze Zahlen, dh. man bezeichnet sie als teilerfremde Koordinaten. Um die Berechnung der Gitterrichtungen besser zu verstehen, folgt eine Veranschaulichung am orthorhombischen Gitter

Gitterrichtungen im orthorhombischen Gitter

Wichtig

Zur Erinnerung die Geometrie des Orthorhombischen Gitters ist beschrieben durch:

$\ a \not= b \not= c $ sowie $ \alpha = \beta = \gamma = 90° $

Um nun die Gitterrichtung exakt beschreiben zu können, verwendet man die Richtungsindizes $ u, v, w $. Diese sind international vereinheitlicht. Zudem benötigt man die Elementarzellenabmessungen $ a_0, b_0, c_0 $, sowie die Einheitsvektoren $ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} $ mit der jeweiligen Länge 1. 

Die Gleichung zur Bestimmung eines Punktes, bzw. Gitteratoms $ p_{atom} $ durch die Resultierende $ r$ ist wie folgt:

$\ r = u' \cdot a_0 \cdot \vec{i} + v' \cdot b_0 \cdot \vec{j} + w' \cdot c_0 \cdot \vec{k} $

Das Resultat wird anschließend ausgedrückt durch $ p[\text{Koordinatenbestandteile}]$. In diesem Beispiel wäre dies:

$ p[u \cdot a_0 \cdot \vec{i} + v \cdot b_0 \cdot \vec{j} + w \cdot c_0 \cdot \vec{k}] $.

Hierbei ist zu beachten, dass die einzelnen Summanden nicht addiert, sondern als Zahlenfolge ausgedrückt werden. Hierzu ein paar Beispiele:

Beispiel

  • Sind $ u' = 1, v' = 1 $ und $ w' = 1 $ , so ist $ p = 1 $ und entsprechend  u,v,w = 1 .
    Daraus folgt für die Koordinaten [111].
  • Sind $ u' = \frac{1}{3}, v' = \frac{3}{4} $ und $ w' = \frac{1}{2} $, so ist $ p = \frac{1}{12} $ und entsprechend  u = 4, v = 9, w = 6 .
    Daraus folgt in diesem Fall als Koordinaten  [496] . 

    $ \rightarrow $ Der Wert $ p = \frac{1}{12} $ ist der erste gemeinsame Teiler von $ u', v', w' $ und gewährleistet somit, dass $ u,v,w $ ganzzahlig ausgedrückt werden können. 

  • Sind $ u' = \frac{1}{8}, v' = -\frac{2}{4}$ und $ w' = \frac{1}{2} $, so ist $ p = \frac{1}{8}$ und entsprechend  u = 1, v = -4, w = 4 .
    Daraus folgt in diesem Fall als Koordinaten  [1$\overline{4}$4] .

    $ \rightarrow $ Ist ein Koordinatenbestandteil negativ, so wird dies entsprechend mit einem Strich über der entsprechenden Zahl gekennzeichnet. 

Besonderheit Würfelkanten im kubischen Gitter

Sind die Richtungen der einzelnen Würfelkanten wie folgt definiert

[100], [010], [001]

so wird die Gesamtheit der Würfelkanten angegeben als <100>. Dies drückt aus, dass sie kristallographisch gleichwertig sind.