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Baustatik 2 - Verformungen am geometrisch bestimmten System

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Baustatik 2

Verformungen am geometrisch bestimmten System

Nachdem wir nun also das geomtrisch bestimmte System aufgestellt haben, d.h. Festhaltungen so eingfügt haben, dass weder Knotenverdrehungen noch Knotenverschiebungen auftreten können, müssen wir die Verformungen an diesem bestimmen. 

Wir wollen das geometrisch bestimmte Grundsystem im Weiteren als 0-System bezeichnen.

Merke

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Infolge der am 0-System angreifenden äußeren Kräfte treten Verformungen auf. Verformungen führen zum Auftreten von Normalkräften, Querkräften und Biegemomenten.

Eigenschaften des 0-Systems

Das 0-System erfüllt alle Verformungsbedingungen an den Übergängen zu den benachbarten Stäben. Hier treten also keine Knicke und Sprünge auf. Zwischen den Knoten sind die Biegelinien stetig und stetig differenzierbar.

Die Gleichgewichtsbedingungen sind beim 0-System hingegen an den Knoten verletzt, da an den Übergängen zu den benachbarten Stäben infolge der Festhaltungen Sprünge in der Momentenlinie auftreten. 

Das Kräftegleichgewicht $\sum F_{ix} = 0$, $\sum F_{iy} = 0$ am gesamten System und an den Rahmenecken ist verletzt, da die Einzelstäbe voneinander abgeschottet sind. 

Verwendung für das Drehwinkelverfahren

Für das Drehwinkelverfahren werden die Veformungen am 0-System benötigt, die infolge der äußeren Einwirkungen auftreten. Äußere Einwirkungen können zum Beispiel Einzelkräfte, äußere Momente oder Streckenlasten sein.

Zur Bestimmung der Momentenlinie der einzelnen Grundelemente (Einzelstäbe) werden die Stabendmomente infolge äußerer Einwirkungen benötigt. 

Diese Stabendmomente können dem Kurstext Stabendmomente entnommen werden.

Hinweis

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Im Ordner Materialien (links) findet ihr die Stabendmomente infolge äußerer Einwirkungen als Download. 

Beispiel: Stabendmomente im 0-System

Drehwinkelverfahren, Verformung, 0-System, Stabendmomente
Verformung am 0-System


In der obigen Grafik ist beispielhaft ein Rahmentragwerk gegeben, welches mittig am Stab b-c durch eine äußere Einzelkraft belastet wird. Zunächst wird das geometrisch bestimmte System erzeugt (0-System), indem Festhaltungen so eingefügt werden, dass keine Knotenverdrehungen und Knotenverschiebungen auftreten. Danach wird jeder Stab für sich betrachtet und aus der Tabelle die Stabendmomente infolge äußerer Einwirkungen für den gegebenen Lastfall abgelesen und am Stab abgetragen. 

Die Festhaltung gegen Verschieben führt zu einer Festhaltekraft $F_0$, die im 0-System berücksichtigt werden muss. Berechnet werden kann diese aus dem Knotengleichgewicht (letztes Bild in der obigen Grafik). Das obige Knotengleichgewicht ergibt mit $N = 0$ und $Q = M' = 0$ für $F_0 = 0$. Die Querkraft ist deswegen Null, weil keine Momentenlinie im Stab a-b gegeben ist, aus welcher sich die horizontale Querkraft ergibt. $N$ ist für b-c gleich Null, da hier keine horizontale Kraft am Stab b-c angreift. Demnach ist gemäß der horizontalen Gleichgewichtsbedingung am Knoten b die Festhaltekraft gleich Null:

$\sum H = N - F_0 - Q = 0$

$\rightarrow F_0 = 0$

Der Verformungszustand des 0-System ist somit aufgestellt. Als nächstes folgen die Verformungen der Einheitszustände.

Hinweis

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Die Anwendung des Verfahrens erfolgt in einem späteren Abschnitt. Die Berechnung der Querkraft aus den Stabendmomenten zur Bestimmung der Festhaltekraft wird ebenfalls in einem späteren Abschnitt behandelt.