Differentialgleichung der elastischen Biegelinie

Man erinnere sich an die Spannungsberechnung für die gerade Biegung, von dort ist folgende Gleichung bekannt:

$ M_y = E\cdot I_{y} \varphi' $ 

Ferner ist auch diese Gleichung interessant:

$\tau_{xz} = G\gamma_{xz} = G(w' + \varphi) $

Und zuletzt die Gleichung zur Berechnung der Querkraft:

$ Q = \int_A \tau_{xz} dA $

Setzt man nun die 2. Gleichung in die 3. Gleichung ein, so folgt daraus: 

$ Q = \int_A G(w' + \varphi) dA $

mit

Man erhält folglich für die Querkraft:

Wird die Schubfläche $A_s = \kappa_s \cdot A$ eingeführt, so erhält man:

$Q = G  A_s \cdot (w' + \varphi) $

und im weiteren Umfang mit

Wenn $G \cdot A_s \rightarrow \infty$, dann läuft die Gleitung $\gamma$ gegen null.

$ \gamma = (w' + \varphi) = 0  \; \rightarrow \; w' = - \varphi $ 

Hier erkennt man, dass die Ableitung der Durchbiegekurve $w(x)$ der negativen Neigung eines Balkenquerschnitts entspricht. 

Betrachtet man die obige Abbildung genau, so lässt sich vermuten, dass der Tangentensteigungswinkel $\alpha$ dem Neigungswinkel $\varphi $ entspricht. Dies gilt es nun zu überprüfen: 

So ist $ \tan ( - \alpha) = w' $ für mittlere bis große Verformungen zulässig und

$ \tan (-\alpha) = - \alpha $ für kleine Verformungen. 

Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Gleichsetzen $w' = - \alpha = -\varphi$.

Differentialgleichung der Biegelinie

Nachdem nun alle relevanten Gleichungen erfasst sind, kann mit Hilfe dieser die Differentialgleichung der Biegelinie aufgestellt werden. Aus $ M_y = E\cdot I_{y} \varphi' $ und $w' = - \varphi $  folgt dann:

Umstellen der obigen Gleichung nach $w''$ ergibt dann:

Durch zweifache Integration von $w''$ kann die Biegelinie bestimmt werden. Das $M_y(x)$ ist der Momentenverlauf, welcher von $x$ abhängig ist. Bei reiner Biegung ist dieser konstant $M_y(x) = M_y$, d.h. an jeder Stelle gleich. Bei Querkraftbiegung hingegen ist der Momentenverlauf abhängig davon, wo der Schnitt bei $x$ durchgeführt wird. 

Liegt eine Streckenlast vor, so kann die Berechnung wie folgt durchgeführt werden:

In den nachfolgenden Abschnitten wird gezeigt wie man vorgehen muss, um die Differentialgleichung lösen zu können.