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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Differentialgleichung der elastischen Biegelinie

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Differentialgleichung der elastischen Biegelinie

Merke

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In diesem Abschnitt wird die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie für eine einachsige Biegung hergeleitet. 

Man erinnere sich an die Spannungsberechnung für die gerade Biegung, von dort ist folgende Gleichung bekannt:

$ M_y = E\cdot I_{y} \varphi' $ 

Ferner ist auch diese Gleichung interessant:

$\tau_{xz} = G\gamma_{xz} = G(w' + \varphi) $

Und zuletzt die Gleichung zur Berechnung der Querkraft:

$ Q = \int_A \tau_{xz} dA $

Setzt man nun die 2. Gleichung in die 3. Gleichung ein, so folgt daraus: 

$ Q = \int_A G(w' + \varphi) dA $

mit $\gamma =  (w' + \varphi) $  (mittlere Gleitung)

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Zur Vereinfachung rechnet man häufig mit einer mittleren Querschnittsneigung, obwohl die Schubspannung nicht gleichförmig verteilt ist. Diese Vorgehensweise ist zulässig, wenn ergänzend zur mittleren Gleitung auch ein Korrekturfaktor $\kappa_s $ berücksichtigt wird. Alternativ spricht man auch von einem Schubfaktor, welcher sich je nach Flächengeometrie ändert, aber meistens um den Wert 1 herum liegt.


Man erhält folglich für die Querkraft:

Methode

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$\ Q = G \cdot A_s (w' + \varphi) $                      Elastizitätsgesetz für die Querkraft

mit

$\kappa_s \cdot A = A_s $                              Schubfläche

$\kappa_s $                                                  Schubfaktor

 

und im weiteren Umfang mit

Methode

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$ G  A_s $                                                                                Schubsteifigkeit

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Da im Folgenden der Balken aufgrund der Verhältnisse der Längenabmessungen zueinander als schubstarr angenommen wird, nimmt die Schubsteifigkeit sehr hohe Werte an ($GA_s \to \infty$). 

Wenn $G \cdot A_s \rightarrow \infty$, dann läuft die Gleitung $\gamma$ gegen null.

$\ \gamma = (w' + \varphi) = 0  \; \rightarrow \; w' = - \varphi $ 

Hier erkennt man, dass die Ableitung der Durchbiegekurve $w(x)$ der negativen Neigung eines Balkenquerschnitts entspricht. 

Balkenneigung Winkel

Betrachtet man die obige Abbildung genau, so lässt sich vermuten, dass der Tangentensteigungswinkel $\alpha$ dem Neigungswinkel $\varphi $ entspricht. Dies gilt es nun zu überprüfen: 

So ist $ \tan ( - \alpha) = w' $ für mittlere bis große Verformungen zulässig und

$ \tan (-\alpha) = - \alpha $ für kleine Verformungen. 

Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Gleichsetzen $w' = - \alpha = -\varphi$.

Differentialgleichung der Biegelinie

Nachdem nun alle relevanten Gleichungen erfasst sind, kann mit Hilfe dieser die Differentialgleichung der Biegelinie aufgestellt werden. Aus $ M_y = E\cdot I_{y} \varphi' $ und $w' = - \varphi $  folgt dann:

Methode

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$ M_y = -E \cdot I_{y} w'' $                 


Umstellen der obigen Gleichung nach $w''$ ergibt dann:

Methode

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$ w'' = - \frac{M_y (x)}{E \cdot I_{y}} $               Differentialgleichung der Biegelinie

mit

$w''$ als zweite Ableitung der Durchbiegekurve und

$ E\cdot I_{y}$ als Biegesteifigkeit.

Durch zweifache Integration von $w''$ kann die Biegelinie bestimmt werden. Das $M_y(x)$ ist der Momentenverlauf, welcher von $x$ abhängig ist. Bei reiner Biegung ist dieser konstant $M_y(x) = M_y$, d.h. an jeder Stelle gleich. Bei Querkraftbiegung hingegen ist der Momentenverlauf abhängig davon, wo der Schnitt bei $x$ durchgeführt wird. 

Liegt eine Streckenlast vor, so kann die Berechnung wie folgt durchgeführt werden:

Methode

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$EIw(x)^{IV} = q(x)$

mit

$EI$ konstant

In den nachfolgenden Abschnitten wird gezeigt wie man vorgehen muss, um die Differentialgleichung lösen zu können.

Hinweis

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Bei der hier angegebene Differentialgleichung der Biegelinie wird davon ausgegangen, dass der durch eine Querkraft belastete Balken schubstarr $GAs \to \infty$ ist und die Bernoullische Normalenhypothese gilt. Bei dieser Gleichung handelt es sich also um die Durchbiegung des Balkens infolge des reinen Biegeanteils, welcher durch Biegemomemte und/oder Querkräfte auftritt. Der Anteil des Schubs bei der Durchbiegung wird hier (aufgrund der Annahmen) nicht berücksichtigt. Die Berechnung der Durchbiegung unter zusätzlicher Berücksichtigung des Schubs wird im Kapitel Schub vorgenommen.