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Kursangebot | Baustatik 2 | Hookesches Gesetz

Baustatik 2

Hookesches Gesetz

Viele Werkstoffe zeigen einen proportionalen Verlauf von Spannung $\sigma$ und Dehnung $\epsilon_N$, das heißt, dass die Dehnung mit der Spannung im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. 

Beispiel

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Wird beispielsweise ein Gummiband auseinandergezogen, also mit einer Zugkraft belastet, so sieht man, dass mit zunehmender Spannung auch die Dehnung zunimmt. 

 

Das Hookesche Gesetz (auch: Materialgesetz) beschreibt den Zusammenhang von Spannung und Dehnung im linear-elastischen Bereich. Dabei gilt für diesen Bereich der folgende Zusammenhang:

Methode

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$\sigma = E \cdot \epsilon_N$                         Hookesche Gesetz

mit

$\sigma = \frac{F}{A}$

$\epsilon_N = \frac{\triangle l}{l}$


Hierbei ist der Elastizitätsmodul $E$ nichts anderes als die Steigung der Hookeschen Geraden. Der Elastizitätsmodul ist eine notwendige Materialgröße zur Beschreibung des elastischen Verhaltens eines Materials. Dabei ist nicht relevant, ob im Zugbereich oder Druckbereich gemessen wird, da der Wert des E-Moduls dort identisch ist.

Hooksche Gerade, Elastizitätsmodul, Spannung, Dehnung
Hookesche Gerade

 

Merke

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Die Einheit des E-Moduls ist Kraft pro Fläche [N/mm²].

 

Sind die Dehnungen im Querschnitt konstant, so folgt daraus auch eine konstante Spannungsverteilung im Querschnitt:

Methode

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$\sigma = \frac{N}{A}$  $\Rightarrow \epsilon_N = \frac{N}{EA}$ 

mit

$N$ Normalkraft

$A$ Querschnittsfläche

$E$ Elastizitätsmodul

$\epsilon_N$ Dehnung

$\sigma$ Spannung

 

Hinweis

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Die obigen Gleichungen werden in unseren Online-Kursen Elastostatik und Baustatik I ausführlich erklärt. Hierbei handelt es sich um die Verformung eines Stabes infolge Dehnung (=Längenänderung des Stabes).

Hookesche Gerade (linear-elastischer Bereich)

In der nachfolgenden Tabelle sind einige Materialien mit ihrem zugehörigen E-Modulen aufgelistet:

MaterialbezeichnungE-Modul in kN/mm²
Ferritischer Stahl210
Kupfer130
Blei19
Glas70
Beton22-45

Den Elastizitätsmodul $E$ kann man aus den Messwerten eines Zugversuches berechnen. Zur Berechnung des Elastizitätsmoduls kann man das Hookesche Gesetz auch umschreiben, indem man die Größen

$\sigma = \frac{F}{A}$,  $\epsilon_N = \frac{\triangle l}{l_0}$  einsetzt in

$\sigma = E \cdot \epsilon_N$.

 

Daraus ergibt sich:

Methode

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$E = \frac{F \cdot l_0}{A \cdot \triangle l} $

mit

$A$ = Probenquerschnitt

$F$ = Kraft

$l$ = Länge des Probestabes

$\triangle l$ = Verlängerung des Probestabes

 

Im Folgenden sei ein Beispiel für die Berechnung des Elastizitätsmoduls aus dem Zugversuch gegeben.

Beispiel: Elastizitätsmodul

Beispiel

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Der Elastizitätsmodul $E$ für einen Stab soll durch einen Zugversuch ermittelt werden. Hierzu wird ein Rundstab mit einem Durchmesser von $d = 8 mm$ und einer Anfangsmesslänge $l_0 = 60 mm$ verwendet. Auf der geradlinig verlaufenden Stabachse wirkt eine Kraft $F = 15 kN$. Diese Kraft $F$ führt dazu, dass der Stab sich um $\triangle = 1,5 mm$ verlängert.

1) Wie groß ist die Zugspannung $\sigma$ ?

2) Wie groß ist die elastische Dehnung $\epsilon$ ?

3) Welchen Wert besitzt der Elastizitätsmodul $E$ ?

1) Berechnung der Zugspannung 

$\sigma = \frac{F}{A_0}$

 

Die Querschnittsfläche $A_0$ bei einem Rundstab ist kreisförmig und wird berechnet durch:

$A_0 = r^2 \cdot \pi = (\frac{d}{2})^2 \cdot \pi = (4 \; mm)^2 \cdot \pi = 50,27 \; mm^2$

 

Die Kraft $F$ ist in $kN$ angegeben und wird umgerechnet in $N$:

$F = 15 kN = 15.000 \; N$

 

Die Berechnung der Zugspannung erfolgt dann:

$\sigma = \frac{F}{A_0} = \frac{15.000 \; N}{50,27 \; mm^2} = 298,39 \; N/mm^2$

 

2) Berechnung der Dehnung

$\epsilon = \frac{\triangle l}{l_0} = \frac{1,5 \;  mm}{60 \; mm} = 0,025 = 2,5$ %.

 

3) Berechnung des Elastizitätsmoduls

$E = \frac{F \cdot l_0}{A_0 \cdot \triangle l}$

$E = \frac{15.000 \; N \; \cdot 60 \; mm}{50,27 \; mm^2 \cdot 1,5 \; mm} = 11.935,55 \; N/mm^2$