Komplexe Spannungen und Ströme

Nachdem wir uns mit den Grundlagen der komplexen Zahlen vertraut gemacht haben, wollen wir uns nun den komplexen Spannungen und Strömen zuwenden. 

Komplexe Spannungen und Ströme

Wir wenden die Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene auf die komplexe Darstellung der Spannungs- und Stromzeiger an. Hierbei ordnet man die komplexen Spannungs- und Stromebenen wie im nachfolgenden Bild an.

Dabei verlaufen die positiven reellen Achsen nach rechts [+] und die positiv imaginären Achsen nach oben [j]. Nimmt man nun die Zeigerbilder für einen Widerstand $ R $, eine Induktivität $ L $ und einen Kondensator $ C $ und überträgt diese in die Darstellung, so werden die Spannungs- und Stromzeiger folgendermaßen dargestellt:

Stromzeiger in der positiven reellen Achse liegend:

Dann gilt:

• $\underline{U}_{(R)} = U \cdot e^{j0°} = I \cdot R $,
• $\underline{U}_{(L)} = U \cdot e^{j90°} = j \cdot I \cdot \omega \cdot L $,
• $\underline{U}_{(C)} = U \cdot e^{j-90°} = \frac{- j \cdot I}{\omega \cdot C}$,

Die entsprechende Abbildung ist:

Zeigerbilder in der komplexen U-Ebene

Spannungszeiger in der positiven reellen Achse liegend:

Dann gilt:

• $\underline{I}_{(R)} = I \cdot e^{j0°} = \frac{U}{R} $,
• $\underline{I}_{(L)} = I \cdot e^{-j90°} = - j \cdot \frac{U}{\omega \dot L} $
• $\underline{I}_{(C)} = I \cdot e^{j90°} = - j \cdot U \cdot W \cdot C $

Die entsprechende Abbildung:

Zeigerbilder in der komplexen I-Ebene

Für einen allgemeinen Zweipol gilt 

• $\underline{U} = Re \underline{U} + j \cdot Im \underline{U}$
• $\underline{I} = Re \underline{I} + j \cdot Im \underline{I} $.

Grafisch sieht das dann so aus:

Zweipol in U-Ebene und I-Ebene

Bei einer beliebigen Lage der Zeiger gilt für den Widerstand $ R $, die Induktivität $ L $ und den Kondensator $ C $:

Spannungen

• $ \underline{U} = \underline{I} \cdot \underline R $
• $ \underline{U} = j \cdot \underline{I} \cdot \omega \cdot L = j \cdot \underline{I} \cdot X_L $
• $\underline{U} = - j \cdot \frac{\underline{I}}{\omega \dot C} = -j \cdot \underline{I} \cdot X_C $

Ströme

• $\underline{I} = \underline{U} \cdot G $
• $\underline{I} = - j \cdot \frac{ \underline{U}}{\omega \cdot L} = -j \cdot \underline{U} \cdot B_L $
• $\underline{I} = j \cdot \underline{U} \cdot \omega \cdot B = j \cdot \underline{U} \cdot B_C $ 

Fasst man die bisherigen Erkenntnisse zusammen, so gilt für einen Zweipol, bei dem sowohl der Spannungszeiger $\underline{U} = U \cdot e^{j\varphi_u } $, als auch der Stromzeiger $\underline{I} = I \cdot e^{j\varphi_i } $ in einer beliebigen Richtung liegen und dabei den Phasenverschiebungswinkel $\varphi $ mit $\varphi = \varphi_u - \varphi_i $ einschließen: