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Elektrotechnik - Komplexe Zahlen und Darstellungsformen

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Elektrotechnik

Komplexe Zahlen und Darstellungsformen

Um dich auf die komplexen Spannungen, Ströme, Widerstände und Leitwerte richtig einzustimmen, machen wir einen kleinen Exkurs in die Analysis und wiederholen Komplexe Zahlen, sowie deren Darstellungsformen mit der Komponentenform und der Exponentialform

Komplexe Zahlen

In der nachfolgenden Abbildung siehst du eine Gaußsche Zahlenebene.

In dieser Zahlenebene sind auf der waagerechten Achse reelle Zahlen abgetragen und auf der senkrechten Achse imaginäre Zahlen. Die imaginären Zahlen sind definiert mit $\ j = \sqrt{-1} $. Mit Hilfe dieser und der reellen Zahlen lassen sich komplexe Zahlen $ \underline{z} $ durch einen Punkt $ P $, einen Pfeil oder einem Strahl vom Nullpunkt zum Punkt P darstellen. Hierbei unterscheiden wir zwei mathematische Darstellungsarten:

Gaußsche Zahlenebene
Gaußsche Zahlenebene

 

Komponentenform und Exponentialform

Komponentenform

Bei der Komponentenform wird die komplexe Zahl $\underline{z} $ ausgedrückt durch die Gleichung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\underline{z} = a + j \cdot b = Re \underline{z} + j \cdot Im \underline{z} $

Dabei ist der erste Term [$ Re \underline{z} $] der Realanteil und der zweite Term [$ Im \underline{z} $] der Imaginäranteil der komplexen Zahl $\underline{z} $.

Exponentialform

Hier wird die komplexe Zahl $\underline{z} $ ausgedrückt durch folgende Gleichung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\underline{z} = z \cdot e^{j\alpha} = z \cdot cos \alpha + j \cdot z \cdot sin \alpha $

Hierbei gelten für den Betrag $ z $ und den Winkel $\alpha $ von der positiven reellen Achse hin zum Strahl $\underline{z}$ folgende Beziehungen:

  • $ z = \sqrt{a^2 + b^2} $
  • $\ a = z \cdot cos \alpha $ 
  • $\ b = z \cdot sin \alpha $
  • $ \frac{b}{a} = tan \alpha $

Ausgehend von diesen Beziehungen und unter Verwendung der Eulerschen Gleichung lässt sich aus der Komponentenform die Exponentialform bilden. 

Ergänzend: Für die zu $ z $ konjugierte komplexe Zahl $\underline{z}*$ gilt 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\underline{z}* = a - j \cdot b = z \cdot e^{-j\alpha} $

Merke

Hier klicken zum AusklappenUm die Addition oder die Subtraktion von komplexen Zahlen durchzuführen, verwendet man die Komponentenform. Ist eine Multiplikation oder eine Division mit komplexen Zahlen erforderlich, so nimmt man die Exponentialform.