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Elektrotechnik

Beispiel: Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität

Übungsbeispiel 1

Im ersten Anwendungsbeispiel betrachten wir eine Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität. 

Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität 

Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität
Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität

Beispiel

In der obigen Abbildung siehst du einen Widerstand $ R $ und eine Induktivität $ L $. Beide sind innerhalb eines Wechselstromkreises in Reihe geschaltet. Es ist bekannt, dass die Wechselspannung den Effektivwert $ U $ und die Kreisfrequenz $\omega = 2\cdot \pi f $ aufweist. Wir möchten nun wissen, welchen Betrag die Netzspannung, die von der Schaltung aufgenommen wird, besitzt. Zudem soll bestimmt werden, welches Maß der Phasenverschiebungswinkel $\varphi $ der Netzspannung gegen den Netzstrom hat und wie groß die vom Zweipol aufgenommenen Leistungen sind. 

Zusammengefasst: Gesucht sind $ U, \varphi, P $.

1. Entwerfe Schaltplan mit Zeigerbild

Im ersten Schritt wird der oben abgebildete Schaltplan vervollständigt, indem alle in der Schaltung auftretenden Spannung und Ströme inklusive ihrer Zählpfeile eingetragen werden.

Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität mit Zählpfeilen
Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität mit Zählpfeilen

Nach der Maschenregel $ \sum \underline{U} = 0 $ gilt für einen Umlauf im Uhrzeigersinn:

$\underline{U}_R + \underline{U}_L = U $ sowie

$\underline{U}_R + \underline{U}_L - U = 0 $

Diese Gleichungen können nun verwendet werden, um die Spannungszeiger im Zeigerbild darzustellen. Zuvor müssen wir aber noch eine gemeinsame Wechselgröße auswählen. Diese ist bei einer Reihenschaltung für gewöhnlich der Strom, welcher hier für $ R $ und $ L $ identisch ist.

Nun können wir mit dem Zeigerbild beginnen:

Der Stromzeiger $ \underline{I} $ wird von links nach rechts eingezeichnet [1.]. Somit liegt der Spannungszeiger $ \underline{U}_R $ in einer Phase mit dem Stromzeiger [2.]. Nach der Spannungsgleichung ist der Zeiger $\underline{U}_L $ an den Zeiger $ \underline{U}_R $ anzusetzen. Dabei eilt $\underline{U}_L $ dem Strom $\underline{I} $ um 90° voraus, weshalb er senkrecht eingezeichnet wird [3.].

Führt man nun eine geometrische Vektoraddition durch, so ergibt sich daraus der Spannungszeiger $\underline{U} $ der Netzspannung [4.]. 

Entstehung eines Zeigerbildes in vier Schritten
Entstehung eines Zeigerbildes in vier Schritten

 

Im letzten zeichnerischen Schritt können wir noch den Phasenverschiebungswinkel $\varphi $ ins Zeigerbild eintragen. Dieser weist vom Stromzeiger hin zum Spannungszeiger. Er ist also positiv.

Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild
Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild

 

Merke

Nun liegen alle notwendigen Angaben zur Bestimmung der Netzspannung $ U $ und des Phasenverschiebungswinkels $\varphi $ vor.

2. Berechne die Netzspannung und den Phasenverschiebungswinkel

Beide Größen können aus dem rechtwinkligen Spannungsdreieck ermittelt werden. In den nachfolgenden Gleichungen sind die Beträge der Zeiger, also ihre Effektivwerte, enthalten:

1. $ U_R = I \cdot R  $ und 

2. $ U_L = I \cdot \omega \cdot L $.

Aus dem rechtwinkligen Spannungsdreieck erhält unter Anwendung des Satzes von Pythagoras die Netzspannung

Methode

Netzspannung $ U = \sqrt{U_R^2 + U_L^2} $

Setzt man die obigen beiden Gleichungen nun in den Pythagorassatz ein, so erhält man:

$ U = I \sqrt{R^2 + (\omega \cdot L)^2} $

Unter Verwendung der Gleichung $ Z = \frac{U}{I}$ erhält man als Scheinwiderstand

Methode

Scheinwiderstand: $ Z = \sqrt{R^2 + (\omega \cdot L)^2}$

Der Phasenverschiebungswinkel errechnet sich aus dem Zeigerbild

Methode

Phasenverschiebungswinkel $ tan \varphi = \frac{U_L}{U_R} = \frac{\omega L}{R} $ 

Mit den bisher aufgestellten Beziehungen sind $ U $ und $\omega $ bekannt. Auch die Spannungen $ U_R $ und $ U_L $ lassen sich auf diesem Weg bestimmen. 

3. Berechne die Leistung und die Arbeit

Um die Leistungen, die von der Schaltung aufgenommen werden, bestimmen zu können, verwendet man folgende Formeln:

$ P = U \cdot I cos\varphi $,

$ Q = U \cdot I sin\varphi $ sowie

$ S = U \cdot I $.

Zur Bestimmung der Arbeit greift man auf folgende Formeln zurück:

$ W = P \cdot t $ 

$ W_q = Q \cdot t \rightarrow $ Blindarbeit.