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Elektrotechnik

Beispiel: Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators

2. Anwendungsbeispiel:

Im zweiten Anwendungsbeispiel ersetzen wir die Induktivität durch einen Kondensator, der mit einem Widerstand in einem Wechselstromkreis in Reihe geschaltet ist. 

Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators

Reihenschaltung eines Widerstands und eines Kondensators
Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators

Beispiel

In der obigen Abbildung sehen Sie einen Widerstand $ R $ und einen Kondensator $ C $. Beide sind innerhalb eines Wechselstromkreises in Reihe geschaltet. Es ist bekannt, dass die Wechselspannung den Effektivwert $ U $ und die Kreisfrequenz $\omega = 2\cdot \pi f $ aufweist. Wir möchten nun wissen, welchen Betrag die Netzspannung $ U $, die von der Schaltung aufgenommen wird, besitzt. Zudem soll bestimmt werden welches Maß der Phasenverschiebungswinkel $\varphi $ der Netzspannung gegen den Netzstrom hat und wie groß die vom Zweipol aufgenommenen Leistungen sind. 

Zusammengefasst: Erneut gesucht sind $ U, \varphi, P $.

1. Entwerfe Schaltplan mit Zeigerbild

Im ersten Schritt wird der oben abgebildete Schaltplan vervollständigt, indem alle in der Schaltung auftretenden Spannung und Ströme inklusive ihrer Zählpfeile eingetragen werden.

Reihenschaltung eines Widerstands und eines Kondensators (vollständig)
Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators (vollständig)

Nach der Maschenregel ist $\underline{U} = \underline{U}_R + \underline{U}_C $.

Wie im vorangegangenen Beispiel erzeugen wir nun wieder ein Zeigerbild nach der bekannten Vorgehensweise.

Der Stromzeiger $\underline{I} $ wird wieder von links nach rechts eingezeichnet. Dabei liegt $ \underline{U}_R $ auch wieder in Phase mit $\underline{I} $. Nun setzt man den Spannungszeiger $\underline{U}_C $ an die Zeigerspitze von $ \underline{U}_R $.
Erneut erhält man durch diese Vorgehensweise den Spannungszeiger $\underline{U} $ der Netzspannung. Betrachtet man die vollständige Abbildung [4.], so sieht man, dass die Spannung $ \underline{U} $ dem Strom nacheilt.

Entstehung eines Zeigerbildes in vier Schritten
Entstehung eines Zeigerbildes in vier Schritten

Im letzten Schritt ergänzen wir die Abbildung wieder um den Phasenverschiebungswinkel $\varphi $ und sehen, dass dieser negativ ist. 

Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild
Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild

Methode

Nun liegen wieder alle notwendigen Angaben zur Bestimmung der Netzspannung $ U $ und des Phasenverschiebungswinkels $\varphi $ vor.

2. Berechne die Netzspannung und den Phasenverschiebungswinkel

Beide Größen können aus dem rechtwinkligen Spannungsdreieck ermittelt werden. In den nachfolgenden Gleichungen sind die Beträge der Zeiger, also ihre Effektivwerte, enthalten:

1. $ U_R = I \cdot R  $ und 

2. $ U_C = \frac{I }{\omega \cdot C} $

Aus dem rechtwinkligen Spannungsdreieck erhält man unter Anwendung des Satzes von Pythagoras 

$ U = \sqrt{U_R^2 + U_C^2} $.

Setzt man die obigen beiden Gleichungen nun in den Pythagorassatz ein, so erhält man:

Merke

Netzspannung: $ U = I \sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega \cdot C})^2} $

Unter Verwendung der Gleichung $ Z = \frac{U}{I}$ erhält man als Scheinwiderstand [$ I $ kürzt sich dabei weg]

Merke

Scheinwiderstand: $ Z = \sqrt{R^2 +(\frac{1}{\omega \cdot C})^2} $ 

Der Phasenverschiebungswinkel errechnet sich aus dem Zeigerbild

Merke

Phasenverschiebungswinkel: $ tan \varphi = - \frac{U_C}{U_R} =  - \frac{1}{R \cdot \omega \cdot C} $ 

3. Berechne die Leistung und die Arbeit

Um die Leistungen, die von der Schaltung aufgenommen werden, bestimmen zu können, verwendet man folgende Formeln:

$ P = U \cdot I cos\varphi $,

$ Q = U \cdot I sin\varphi $ sowie

$ S = U \cdot I $.

Zur Bestimmung der Arbeit greift man auf folgende Formeln zurück:

$ W = P \cdot t $ 

$ W_q = - Q \cdot t \rightarrow $ Blindarbeit