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Elektrotechnik

Beispiel: Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators

Übungsbeispiel 2:

Im zweiten Anwendungsbeispiel ersetzen wir die Induktivität durch einen Kondensator, der mit einem Widerstand in einem Wechselstromkreis in Reihe geschaltet ist. 

Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators

Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators
Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators

 

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenIn der obigen Abbildung siehst du einen Widerstand $ R $ und einen Kondensator $ C $. Beide sind innerhalb eines Wechselstromkreises in Reihe geschaltet. Es ist bekannt, dass die Wechselspannung den Effektivwert $ U $ und die Kreisfrequenz $\omega = 2\cdot \pi f $ aufweist. Wir möchten nun wissen, welchen Betrag die Netzspannung $ U $, die von der Schaltung aufgenommen wird, besitzt. Zudem soll bestimmt werden welches Maß der Phasenverschiebungswinkel $\varphi $ der Netzspannung gegen den Netzstrom hat und wie groß die vom Zweipol aufgenommenen Leistungen sind. 

Zusammengefasst: Erneut gesucht sind $ U, \varphi, P $.

1. Entwerfe Schaltplan mit Zeigerbild

Im ersten Schritt wird der oben abgebildete Schaltplan vervollständigt, indem alle in der Schaltung auftretenden Spannung und Ströme inklusive ihrer Zählpfeile eingetragen werden.

Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators mit Zählpfeilen
Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators mit Zählpfeilen

Nach der Maschenregel ist $\underline{U} = \underline{U}_R + \underline{U}_C $.

Wie im vorangegangenen Beispiel erzeugen wir nun wieder ein Zeigerbild nach der bekannten Vorgehensweise.

Der Stromzeiger $\underline{I} $ wird wieder von links nach rechts eingezeichnet. Dabei liegt $ \underline{U}_R $ auch wieder in Phase mit $\underline{I} $. Nun setzt man den Spannungszeiger $\underline{U}_C $ an die Zeigerspitze von $ \underline{U}_R $.
Erneut erhält man durch diese Vorgehensweise den Spannungszeiger $\underline{U} $ der Netzspannung. Betrachtet man die vollständige Abbildung [4.], so sieht man, dass die Spannung $ \underline{U} $ dem Strom nacheilt.

Entstehung eines Zeigerbildes
Entstehung eines Zeigerbildes

Im letzten Schritt ergänzen wir die Abbildung wieder um den Phasenverschiebungswinkel $\varphi $ und sehen, dass dieser negativ ist. 

Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild
Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild

 

Merke

Hier klicken zum AusklappenNun liegen wieder alle notwendigen Angaben zur Bestimmung der Netzspannung $ U $ und des Phasenverschiebungswinkels $\varphi $ vor.

2. Berechne die Netzspannung und den Phasenverschiebungswinkel

Beide Größen können aus dem rechtwinkligen Spannungsdreieck ermittelt werden. In den nachfolgenden Gleichungen sind die Beträge der Zeiger, also ihre Effektivwerte, enthalten:

1. $ U_R = I \cdot R  $ und 

2. $ U_C = \frac{I }{\omega \cdot C} $

Aus dem rechtwinkligen Spannungsdreieck erhält man unter Anwendung des Satzes von Pythagoras 

$ U = \sqrt{U_R^2 + U_C^2} $.

Setzt man die obigen beiden Gleichungen nun in den Pythagorassatz ein, so erhält man:

Methode

Hier klicken zum AusklappenNetzspannung: $ U = I \sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega \cdot C})^2} $

Unter Verwendung der Gleichung $ Z = \frac{U}{I}$ erhält man als Scheinwiderstand [$ I $ kürzt sich dabei weg]

Methode

Hier klicken zum AusklappenScheinwiderstand: $ Z = \sqrt{R^2 +(\frac{1}{\omega \cdot C})^2} $ 

Der Phasenverschiebungswinkel errechnet sich aus dem Zeigerbild

Methode

Hier klicken zum AusklappenPhasenverschiebungswinkel: $ tan \varphi = - \frac{U_C}{U_R} =  - \frac{1}{R \cdot \omega \cdot C} $ 

3. Berechne die Leistung und die Arbeit

Um die Leistungen, die von der Schaltung aufgenommen werden, bestimmen zu können, verwendet man folgende Formeln:

$ P = U \cdot I cos\varphi $,

$ Q = U \cdot I sin\varphi $ sowie

$ S = U \cdot I $.

Zur Bestimmung der Arbeit greift man auf folgende Formeln zurück:

$ W = P \cdot t $ 

$ W_q = - Q \cdot t \rightarrow $ Blindarbeit