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Fahrzeugtechnik

Kurvenwiderstand

Nachdem du bereits einige Widerstände kennengelernt hast, erläutern wir dir nun den Kurvenwiderstand, der bei Kurvenfahrten auftritt.

Kurvenfahrt
Kurvenfahrt

 

Beim Kurvenfahren wirkt eine Fliehkraft im Schwerpunkt des Fahrzeugs. Formal wird diese definiert mit:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Fliehkraft: $ F = m \cdot a_y = \frac{m \, \cdot \, v^2}{R} $.

Die Reaktionskraft zu den Fliehkräften wird von den Seitenkräften aufgebracht, die zwischen Rädern und Fahrbahn wirken. Betrachte hierzu die nächste Abbildung.

Wirkende Kräfte bei Kurvenfahrt
Bei einer Kurvenfahrt wirkende Kräfte

 

Die Seitenkräfte erzeugen pro Rad einen Schräglaufwinkel, infolgedessen die Fahrtrichtung nicht in die Richtung der Radmittelebene zeigt.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Ähnlich wie beim Vorspurwiderstand liegen auch hier Teilkräfte der wirkenden Seitenkräfte vor, die entgegen der Fahrtrichtung weisen. Das führt zur Entstehung eines weiteren Fahrwiderstandes, der Kurvenwiderstand $ F_{WRK} $.

In unserer Betrachtung liegen die Fliehkräfte auf Schwerpunkthöhe und erzeugen somit einen Wankwinkel. Bei den dynamischen Radlasten sind zwei Szenarien zu beobachten, denn die Radlasten nehmen kurvenaußen zu und kurveninnen ab.

Ab jetzt wird es äußerst kompliziert und sehr analytisch.

Ein-Spur-Modell

Aus diesem Grund wählen wir ab jetzt eine Ersatzmodell für die weitere Betrachtung. Es handelt es sich um das Ein-Spur-Modell aus dem Jahre 1940, entwickelt von Riekert und Schunk. Es ist die einfachste Modellvorstellung zur Erklärung von stationärer und instationärer Querdynamik von zweispurigen Kraftfahrzeugen. 

Aber welche Annahmen trifft denn nun das Modell damit es einfacher wird?

  1. Gedanklich werden die Räder einer Achse zu einem Rad zusammengefasst. 
  2. Die Schwerpunkthöhe wird auf den Wert hs = 0 gesetzt.
  3. Obwohl die Antriebskräfte die Seitenkräfte ein wenig beeinflussen, werden diese im Modell vernachlässigt. 

Fasst man diese Annahmen zusammen, so liegt die Schwerpunkthöhe auf der Fahrbahnhöhe. Das Fahrzeug kann nicht kippen, weil das Wankmoment infolge der Fliehkraft entfällt. $\rightarrow $ Für beide Räder wird eine stationäre Radlast angenommen. 

Daraus resultiert, dass die Seitenkraftsteifigkeit der zu einem Rad zusammengefassten Achse:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Seitenkraftsteifigkeit [Achse]: $ C_a \approx 2 \cdot C_s $

Den Wert für $ C_s $ kann Tabellenblättern zur statischen Radlast entnommen werden.

Die wirkenden Kräfte und Winkel des Ein-Spur-Modells bei einer stationären Kurvenfahrt sind nachfolgend eingezeichnet.

Ein-Spur-Fahrzeugmodell
Ein-Spur-Fahrzeugmodell

Beim Zwei-Rad-Modell mit Schwerpunkthöhe hs = 0  befinden sich diese Kräfte direkt im Zentrum der Reifenaufstandsfläche.

Im zweiten Schritt unterteilen wir die Masse des Fahrzeugs in zwei Teilmassen wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Aufteilen der Fahrzeugmasse
Aufteilen der Fahrzeugmasse

 

Hier sind Fahrgeschwindigkeit und Lenkwinkel konstant und die Einschwingvorgänge infolge des Einlenkens in die Kurve abgeklungen.

Momentengleichgewicht

Die Momentengleichgewichte um die Aufstandsgerade von Vorder- und Hinterachse betragen bei unseren Annahmen: 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Momentengleichgewichte: $ m_h = m \cdot \frac{l_v}{l} $  sowie  $ m_v = m \cdot \frac{l_h}{l} $

Den Trägheitsmomenten schenken wir hier keine Beachtung, da keine dynamischen Vorgänge vorliegen. 

Kräfte an der Vorderachse und Schräglaufwinkel

Durch die Kurvenfahrt wirkt die Fliehkraft auf die Masse an der Vorderachse mv vom Kurvenmittelpunkt ausgehend nach außen hin. Formal ausgedrückt heißt das:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Fliehkraft: $ F_{Zv} = m_v \cdot a_{yv} = m \frac{l_h}{l} \cdot a_{yv} = m \cdot \frac{l_h}{l} \cdot \frac{v^2_v}{R_V} $

Für die Fliehkraft benötigen wir die Seitenkraft FSv am Vorderrad als Reaktionskraft. Dies setzt voraus, dass ein Schräglaufwinkel $ \alpha_v $ existiert, welcher sich aus der Achssteifigkeit Cα ergibt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Schräglaufwinkel: $\alpha_V = \frac{F_{Sv}}{C_{\alpha v}} \approx \frac{F_Sv}{2 \, \cdot \, C_{Sv}} $

Der Schräglaufwinkel bewirkt eine Änderung der Wirkrichtung der Seitenkraft gegenüber der Wirkrichtung der Fliehkraft. Somit stimmen beide nicht mehr überein und es besteht ebenfalls ein Winkel $ \alpha_v $ zwischen beiden Wirkrichtungen, denn

  • Die Seitenkraft am Rad wirkt senkrecht zur Radmittelebene.
  • Die Fliehkraft wirkt senkrecht zur Fahrtrichtung.

Um dieses Problem zu vereinfachen, zerlegen wir die Seitenkraft in eine Komponente senkrecht zur Fahrtrichtung und in eine Komponente gegen die Fahrtrichtung. Die Komponente senkrecht zur Fahrbahn muss die Fliehkraft aufbringen.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Seitenkraft: $ F_{Sv} = \frac{F_{Zv}}{cos( \alpha_v)} $

Kurvenwiderstand Vorderachse und Hinterachse

Jetzt haben wir die Komponente formuliert, die für den Anteil der Vorderachse am Kurvenwiderstand steht:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Kurvenwiderstand [Vorderachse]: $ F_{WRKv} = F_{Sv} \cdot sin \alpha_v $

Und jetzt wird es ein wenig kompliziert oder zumindest umfangreich.

Da der Schräglaufwinkel bei einer normalen Kurvenfahrt nur ca. 1-2° beträgt, können wir vereinfachen:

$ sin \alpha_v \approx \alpha_v $  sowie  $ cos \alpha_v \approx 1 $.

Dies vereinfacht unsere Gleichungen für die Seitenkraft und den Kurvenwiderstand. Es gilt, dass $ F_{Zv} \approx F_{Sv} $. Somit ändert sich die Gleichung zum Kurvenwiderstand der Vorderachse zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Kurvenwiderstand [Vorderachse (angepasst)]: $ F_{WRKv} \approx F_{Zv} \cdot \alpha \approx \frac{F_{Zv} \, \cdot \, F_{Sv}}{2 \, \cdot \, C_{Sv}} \approx \frac{F_{Zv}^2}{2 \, \cdot \, C{Sv}} $ 

Setzen wir nun alle oben ermittelten/bestimmten Werte/Variablen ein, so erhalten wir final für den Kurvenwiderstand der Vorderachse:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Kurvenwiderstand [Vorderachse (final)]: $ F_{WRKv} = \frac{ (m \, \cdot \, \frac{l_h}{l} \, \cdot \, a_{yv})^2}{2 \, \cdot \, C_{Sv}} = \frac{(m \, \cdot \, \frac{l_h}{l})^2 \, \cdot \, v_v^4}{R^2_v \, \cdot \, 2 \, \cdot \, C_{Sv}} $ 

Nach dem gleichen Schema verfahren wir beim Kurvenwiderstand an der Hinterachse und erhalten final:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Kurvenwiderstand [Hinterachse (final)]: $ F_{WRKh} = \frac{ ( m \, \cdot \, \frac{l_v}{l} \, \cdot \, a_{yh})^2}{2 \, \cdot \, C_{Sh}} = \frac{(m \, \cdot \, \frac{l_v}{l})^2 \, \cdot \, v_h^4}{R^2_h \, \cdot \, 2 \, \cdot \, C_{Sh}} $

Gesamtkurvenwiderstand  und Kurvenwiderstandsbeiwert

An dieser Stelle sei festgehalten, dass es eher unwahrscheinlich ist, dass die obigen Herleitungen Gegenstand deiner bevorstehenden Klausur sein werden, aber der Vollständigkeit halber mussten wir so ausführlich verfahren. In den beiden letzten Schritten müssen wir nur noch die beiden Teilkurvenwiderstände zu einem Gesamtkurvenwiderstand zusammenfassen und anschließend den Kurvenwiderstandsbeiwert bestimmen. 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Kurvenwiderstand [gesamt]: $ F_{WRK} \approx \frac{(m \, \cdot \, \frac{l_h}{l})^2 \, \cdot \, v_v^4}{R^2_v \, \cdot \, 2 \, \cdot \, C_{Sv}} + \frac{(m \, \cdot \, \frac{l_v}{l})^2 \, \cdot \, v_h^4}{R^2_h \, \cdot \, 2 \, \cdot \, C_{Sh}} $

In den meisten Fällen werden jedoch folgende Annahmen getroffen:

1. $ R_v \approx R_h \rightarrow $ Große Kurvenradien liegen vor (gilt auch für 2. und 3.)

2. $ a_{yv} \approx a_{yh} \approx a_y $

3. $ v_v \approx v_h \approx v_x $ 

4. $ C_{Sv} \approx C_{Sh} \approx C_S \rightarrow $ Schräglaufsteifigkeit hinten und vorne gleich

5. $ m_v \approx m_h \approx \frac{m}{2} \rightarrow $ Schwerpunkt liegt mittig

Das verkürzt unsere Gleichung für den Kurvenwiderstand zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Kurvenwiderstand [verkürzt]: $ F_{WRK} \approx \frac{(m \, \cdot \, a_y)^2}{4 \, \cdot \, C_S} = \frac{ m^2 \, \cdot \, v^4_x}{R^2 \, \cdot \, 4 \, \cdot \, C_S} $

Die letzte Gleichung geht dann in den Bestimmung des Kurvenwiderstandsbeiwertes ein:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Kurvenwiderstandsbeiwert: $ f_k = \frac{F_{WRK}}{\sum F_N} \approx \frac{F_{WRK}}{m \cdot g} \approx \frac{ m \, \cdot \, a_y^2}{4 \, \cdot \, g \, \cdot \, C_S} = \frac{m \, \cdot \, v_x^4}{R^2 \, \cdot \, 4 \, \cdot \, g \, \cdot \, C_S} $