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Baustatik 2 - Knotengleichgewicht

Kursangebot | Baustatik 2 | Knotengleichgewicht

Baustatik 2

Knotengleichgewicht

Inhaltsverzeichnis

Das 0-System weist Bindungen auf, die am wirklichen System nicht gegeben sind. Hierbei handelt es sich um die Festhaltungen gegen Verdrehen

Die wirklichen Verdrehungen der Knoten sind identisch mit den Verdrehungen am Einheitssystem multipliziert mit dem noch unbekannten Faktor $Y_j$. 

Das Verschwinden der Momentensumme und damit die Erfüllung der Momentengleichgewichtsbedingung $\sum M = 0$ kann erreicht werden, indem jeder Knoten der eine Festhaltung gegen Verdrehen aufweist freigeschnitten wird.

Bei der Momentensumme sind die Momente $M_i^0$ aus dem 0-System und alle Momente $M_i^j$ aus den Einheitssystemen zu berücksichtigen, die am jeweiligen Momentengleichgewicht am Knoten $i$ beteiligt sind:

Methode

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$M_i^0 + \sum_j M_i^j \cdot Y_j = 0$

mit

$M_i^0$ Stabendmomente und äußere Momente am Knoten i im 0-System

$M_i^j$ Stabendmomente am Knoten i im j-System (Einheitssysteme)


Die Stabendmomente können mit den Vorzeichen so übernommen werden, wie sie aus der Tabelle abgelesen werden.

Die äußeren Momente werden gemäß der Vorzeichenkonvention -> gegen den Uhrzeigersinn: positiv, mit dem Uhrzeigersinn: negativ <- übernommen.

Aus der obigen Gleichung können die unbekannten Faktoren $Y_j$ bestimmt werden. Mit diesen ist es dann möglich die unbekannten Knotendrehwinkel $\varphi_i$ wie folgt zu bestimmen:

Methode

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$\varphi_j = \frac{Y_j}{EI_c}$

mit

$Y_j$ unbekannte Faktoren im j-System

$EI_c$ Biegesteifigkeit

Verschiebliche Systeme

Neben den unbekannten Knotendrehwinkeln $\varphi$ treten bei verschieblichen Systemen auch unbekannte Stabdrehwinkel $\Psi$ auf. Diese führen ebenfalls zu Stabendmomenten, die in der Momentengleichgewichtsbedingung am Knoten (=Knotengleichgewicht) berücksichtigt werden müssen. Für jede Verschiebung die ein System erfährt muss also ein zusätzliches Einheitssystem aufgestellt werden und die dort auftrenden Stabendmomente innerhalb der Momentengleichgewichtsbedingung berücksichtigt werden.

Sind die Faktoren $Y_j$ bestimmt, so können die unbekannten Stabdrehwinkel wie folgt berechnet werden:

Methode

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$\Psi_j = \frac{Y_j}{EI_c}$

mit

$Y_j$ unbekannte Faktoren im j-System

$EI_c$ Biegesteifigkeit


Die Verschiebung $\triangle w$ des Knotens kann bestimmt werden zu:

Methode

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$w = \Psi_j \cdot l$


Ist ein verschiebliches System gegeben, dann muss zusätzlich zum Momentengleichgewicht auch das Verschiebegleichgewicht aufgestellt werden.