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Fahrzeugtechnik - Steigungswiderstand, Beschleunigungswiderstand

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Fahrzeugtechnik

Steigungswiderstand, Beschleunigungswiderstand

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In diesem Kurstext beschreiben wir den Steigungswiderstand und den Beschleunigungswiderstand als abschließende Komponenten des Gesamtfahrwiderstandes. 

Steigungswiderstand

Die bei Autofahrern beliebte Lombard Street in San Francisco
Die bei Autofahrern beliebte Lombard Street in San Francisco

 

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen Wie du bereits weißt, besitzt jedes Fahrzeug einen Schwerpunkt. In diesem Schwerpunkt lässt sich die Gewichtskraft des Fahrzeugs bei Steigung in zwei Komponenten zerlegen. Die eine Komponente wirkt senkrecht und die anderen Komponente parallel zur Fahrbahn. Diese Zerlegung siehst du auch in der nächsten Abbildung.
Steigungswiderstand
Steigungswiderstand

 

Uns interessiert besonders die Komponente parallel zur Fahrbahn, denn sie gibt uns den Steigungswiderstand vor:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Steigungswiderstand: $ F_{WS} = m \cdot g \cdot sin \alpha $

Wer jetzt aufgepasst hat, wird zurecht behaupten, dass im Straßenverkehr ja nicht von Winkeln, sondern von Steigungsprozenten gesprochen wird, wenn es um Steigungen geht. Hier können wir eine mathematische Relation herstellen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $ tan \alpha = \frac{q}{100} $ oder $ \alpha = arctan (\frac{q}{100}) $

Hierzu eine kleine Abbildung.

Steigung
Steigung

 

Die Steigung wird angegeben in q %.

Handelt es sich um einen kleinen Winkel $\alpha $, so seht man $ cos \alpha $ gerne auf 1.

Daraus resultiert dann auch der Zusammenhang von $ sin \alpha = tan \alpha $.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Typische fahrzeugtaugliche Steigungen liegen bei 10 ° - 25 °.

 

Video: Steigungswiderstand, Beschleunigungswiderstand

 

Beschleunigungswiderstand

Illustration einer Beschleunigung
Illustration einer Beschleunigung

Nach der relativ einfachen Bestimmung des Steigungswiderstandes, folgt nun die etwas aufwendigere Bestimmung des Beschleunigungswiderstandes. 

Wie du bestimmt noch aus dem Kurs Technische Mechanik weißt, muss für die Beschleunigung eines Objekts eine Kraft aufgebracht werden. Stichwort: Newtonsches Axiom

Zum besseren Verständnis betrachten wir nun einen einachsigen Anhänger.

Beschleunigungswiderstand, translatorischer und rotatorischer Anteil
Beschleunigungswiderstand, translatorischer und rotatorischer Anteil

 

Hier wird das gesamte Fahrzeug (Anhänger) translatorisch und die Räder inklusive Radnabe rotatorisch beschleunigt. 

Rotatorische Beschleunigung

Die rotatorische Beschleunigung ergibt sich aus:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Rotatorische Beschleunigung: $ \omega_A = \frac{v_A}{r_A} = \frac{v_x (1 + \lambda_A)}{r_A} $    folglich:
                                                 $ \dot{\omega}_A = \frac{1 + \alpha_A}{r_A} \cdot \frac{dv_x}{dt} + \frac{v_x}{r_a}\cdot \frac{ d \alpha_A}{dt} $

Angenommen der Schlupf ist konstant, dann gilt:

$\dot{\omega}_A = \frac{1 + \alpha_A}{r_A} \cdot \frac{dv_x}{dt} $

Wenn wir nun den Schlupf vernachlässigen, vereinfacht sich unsere Gleichung erneut:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Rotatorische Beschleunigung [vereinfacht]: $\dot{\omega}_A \approx \frac{a_x}{r_a} $

Der rotatorische Anteil beträgt in unseren Überlegungen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Rotatorischer Kraftanteil: $ F_{rot} = \frac{M_{rot}}{r_A} = \frac{J_{red} \cdot \dot{\omega}_A}{r_A} \approx \frac{J_{red}}{r_A^2} \cdot a_x $ 

Beschleunigungswiderstand

Aus unseren bisherigen Überlegungen heraus können wir jetzt den Beschleunigungswiderstand FWB als Funktion der Beschleunigung ax darstellen. 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Beschleunigungwiderstand: $ F_{WB} = F_{trans} + F_{rot} \approx ( m + \frac{J_{red}}{r^2_A}) \cdot a_x $ 

In der obigen Gleichung fällt ein Wert besonders auf: Jred. Dabei handelt es sich um das Trägheitsmoment des Antriebsstrangs und der Räder, welches auf die Raddrehzahl reduziert ist.

Um diesen Wert, welcher sich aus mehreren Teilgrößen zusammensetzt, berechnen zu können, müssen wir uns den Antriebsstrang eines Fahrzeugs vereinfacht vorstellen:

  1. Den Motor nehmen wir als ein Ganzes an.
  2. Die Bauteile des Antriebsstrangs rotieren mit 5 unterschiedlichen Drehzahlen.
  3. Das Fahrzeug besitzt einen Standardantrieb.
  4. Das verbaute Getriebe ist ein Stirnradgetriebe.

In der nächsten Abbildung haben wir dir die einzelnen Annahmen grafisch dargestellt.

Vereinfachter Antriebsstrang
Vereinfachter Antriebsstrang

Drehzahlen

Im nächsten Schritt untersuchen wir die unter 2. angesprochenen Drehzahlen nacheinander:

  1. Raddrehzahl $\omega_a $:  Besteht bei den Rädern inklusive Radnabe und Bremsscheibe-/trommel, Antriebswellen, Differenzial sowie dem Tellerad des Achsgetriebes.
  2. Getriebeausgangswellendrehzahl $ \omega_2 $: Besteht bei der Getriebeausgangswelle, Hardyscheibe, Kardanwelle und am eventuell vorhandenen Kegelrad des Achsgetriebes.
  3. Getriebezwischenwellendrehzahl $ \omega_3 $: Besteht an der Getriebezwischenwelle.
  4. Getriebeeingangswellendrehzahl $ \omega_4 $: Besteht an der Kupplungsscheibe und der Getriebeeingangswelle.
  5. Motordrehzahl $\omega_M $: Besteht an der Kurbelwelle, Schwungscheibe und der  Kupplungsdruckplatte.

Übersetzungen

Die Relationen zwischen den Drehzahlen liefern uns dann im nächsten Schritt die Gleichungen für die Übersetzungen und dem Schlupf an der Kupplung $ \lambda_K $:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Übersetzung des Achsgetriebes: $ i_A = \frac{\omega_2}{omega_A} $

variable Übersetzung im Getriebe: $ i_2 = \frac{\omega_3}{omega_2} $ 

feste Übersetzung im Getriebe: $ i_3 = \frac{\omega_4}{omega_3} $

Schlupf an der Kupplung: $ (1-\alpha_K) = \frac{\omega_4}{omega_M} $

Nun gilt für das auf Raddrehzahl reduzierte Trägheitsmoment Jred.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Trägheitsmoment [reduziert]: $ J_{red} = J_1 + J_2 \cdot (\frac{\omega_2}{\omega_A})^2 + J_3 \cdot (\frac{\omega_3}{\omega_A})^2 + J_4 \cdot (\frac{\omega_4}{\omega_A})^2 + J_M \cdot (\frac{\omega_M}{\omega_A})^2 = J_1 + J_2 \cdot i_A^2 + J_3 \cdot i_A^2 \cdot i_2^2 + J_4 \cdot i_A^2 \cdot i_2^2 \cdot i_3^2 + J_M \cdot \frac{i_A^2 \, \cdot \, i_2^2 \, \cdot \, i_3^2}{(1-\lambda_K)^2} $

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Wie du bestimmt gemerkt hast, geht die Übersetzung quadratisch in die Berechnung ein. Die Ursache liegt darin, dass eine Übersetzung ins Schnelle

  1. eine zunehmende Beschleunigung der betroffenen Bauteile erzeugt und
  2. für die betroffenen Bauteile ein vergrößertes Moment erfordert.

Befinden wir uns im eingekuppelten Zustand, so fällt der Schlupf auf den Wert null.Folglich dreht die Getriebeeingangswelle mit Motordrehzahl.
$\rightarrow $ Reduzieren der Trägheitsmomente des Motors, sowie der Trägheitsmomente der mit Getriebeeingangswelle rotierenden Teile und der Getriebezwischenwellen auf die Motordrehzahl. Formal bedeutet das:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Trägheitsmoment [Motor, reduziert]: $ J_{Mred} = J_M + J_4 + \frac{J_3}{i_3^2} $ 

Wenn wir nun wieder Bezug zu Jred in unserer obigen Gleichung nehmen, so können wir auch hier weiter vereinfachen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Trägheitsmoment [erneut reduziert]: $ J_{red} = J_1 + J_2 \cdot i_A^2 + J_{Mred} \cdot i_A^2 \cdot i_2^2 \cdot i_3^2 = J_1 + J_2 \cdot i_A^2 + J_{Mred} \cdot i_A^2 \cdot i_G^2 $. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Wie sich herausstellt, hängt unser Trägheitsmoment lediglich von der Schaltgetriebeübersetzung ab, da die Trägheitsmomente und die Achsgetriebeübersetzung ja konstant sind. 

Jetzt gehen wir wieder ein Stück zurück und betrachten unsere Gleichung für den Beschleunigungswiderstand FWB.  Wenn wir diese weiter vereinfachen wollen, müssen wir eine Kennzahl einführen, den Drehmassenzuschlagsfaktor $\varepsilon $. Formal wird dieser definiert mit:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Drehmassenzuschlagsfaktor: $ \varepsilon = \frac{J_{red}}{m \, \cdot \, r_A^2} = \frac{J_1 + J_2 \, \cdot \, i_A^2 + J_{Mred} \, \cdot \, i_A^2 \, \cdot \, i_G^2}{m \, \cdot \, r_A^2} $

In der nächsten Tabelle siehst du eine Übersicht bezüglich des Drehmassenzuschlagfaktors (5-Gang):

GangstufeGetriebeübersetzung $ i_G $Achsgetriebeübersetzung $i_A$Drehmassenzuschlagsfaktor $ \varepsilon $
13,0 - 5,02,5 - 5,0$\varepsilon_1 = 0,25 ... 0,50 $
21,9 - 2,92,5 - 5,0$\varepsilon_2 = 0,11 ... 0,21 $ 
31,1 - 1,72,5 - 5,0 $\varepsilon_3 = 0,06 ... 0,11 $
40,8 - 1,22,5 - 5,0$\varepsilon_4 = 0,04 ... 0,08 $ 
50,6 - 1,02,5 - 5,0$\varepsilon_5 = 0,04 ... 0,06 $ 
Leer-2,5 - 5,0$\varepsilon_0 = 0,03 ... 0,05 $ 

Jetzt sind wir am Ende dieses Kurstextes und können final eine Gleichung für den Beschleunigungswiderstand FWB formulieren:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Beschleunigungswiderstand [final]: $ F_{WB} = m \cdot (1 + \varepsilon) \cdot a_x $