Kursangebot | Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen | Hauptnormalenvektor

Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Hauptnormalenvektor

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Der HauptnormalenVektor ist in einem bestimmten Punkt auf einer Kurve der Vektor, der senkrecht auf dem Tangentenvektor dieses Punktes liegt. Die Gerade, welche in Richtung des Normalenvektors in diesem Punkt verläuft, nennt man Normale. Die Normale ist wiederum senkrecht zur Tangente und somit auch senkrecht zur Kurve. 

Einführung

Ist der Tangentenvektor $\vec{t}(t) \not= \vec{0} $ in einem Kurvenpunkt $ (\dot{x}(t),\dot{y}(t)) $, so entsteht der Normalenvektor $\vec{n}(t)$ aus dem Tangentenvektor, indem man ihn um $\ 90° $ in die positive Richtung dreht (gegen den Uhrzeigersinn), also in Parameterdarstellung:

$\vec{n}(t) := (-\dot{y}(t), \ \dot{x}(t))$.

Um den Normalenvektor bestimmen zu können, muss die Kurve zweimal stetig differenzierbar sein, eine Parameterstelle mit $\dot{x} \not= 0 $ und einen Tangentenvektor $\vec{t} \not= 0 $ besitzen.

Merke

Der Normalenvektor zu einer ebenen Kurve (in einem bestimmten Punkt) ist also ein Vektor, der auf dem Tangentenvektor in diesem Punkt orthogonal (senkrecht) steht.

Beispiel: Normalenvektor

Beispiel

Gegeben sei der Vektor $\vec{r}(t) = (r \cos t, \ r \sin t), \ t \in [0,2\pi]$ im Einheitskreis $(r = 1)$ und der Punkt $(0,8|0,6)$. Wie sieht der Normalenvektor aus?

1. Ableitung bilden

$\dot{x}(t) = r - \sin t \ \rightarrow \ -\sin t$

$-\dot{y}(t) = - r \cos t \ \rightarrow \ -\cos t$

$\vec{n}(t) := (-\dot{y}(t), \ \dot{x}(t)) \ \rightarrow \ (- \cos t | - \sin t)$

2. Winkel bestimmen

Im Punkt $P(0,8| 0,6)$ ist der Winkel $t$:

$(r \cos t, \ r \sin t) \rightarrow t = 1 \cdot \text{argcos} (0,8)$

bzw.

$t = 1 \cdot \text{argsin} (0,6)$:

$t \approx 36,8$

3. Normalenvektor berechnen

Im Punkt $(0,8 | 0,6)$ mit dem Winkel $t = 36,8°$ ist der Normalenvektor:

$\vec{n} = (- \cos t, \ - \sin t) \ \rightarrow \ \vec{n} = (- \cos (36,8), \ - \sin (36,8))$

$\vec{n} = (-0,8, \ -0,6)$  Normalenvektor

Normalenvektor
Normalenvektor

In der Grafik ist deutlich zu erkennen, dass der Normalenvektor in Richtung des Punktes $N(-0,8 | -0,6)$ zeigt. Verschiebt man diesen an den Punkt $(0,8 | 0,6)$, so ist ersichtlich, dass der Normalenvektor senkrecht auf dem Tangentenvektor steht (= Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn). Der Punkt $(-0,8 | -0,6)$ zeigt also die Richtung des Normalenvektors an. Den bereits verschobenen Normalenvektor kann man schreiben als: 

$\vec{x} = (0,8, \ 0,6) + s(-0,8, \ -0,6)$,

wobei $s$ den Geradenparameter darstellt. Also abhängig davon wie man $s$ wählt, ist folglich die Länge der Normalen. In dem obigen Beispiel wurde für $s = 1$ gewählt.

Vektoren die senkrecht aufeinander stehen

Stehen Vektoren senkrecht aufeinander, wie in diesem Fall der Tangentenvektor und der Normalenvektor, so muss das Skalarprodukt aus beiden null ergeben:

$\vec{t}(t) \cdot \vec{n}(t) = 0$

Prüfen:

Der Tangentenvektor ist: $\vec{t} = (-0,6 | 0,8)$  (siehe Kapitel: Tangentenvektor)

$(-0,6 | 0,8) \cdot (-0,8 | -0,6) = 0 \ \rightarrow \ $ Der Normalenvektor steht senkrecht auf dem Tangentenvektor

Hauptnormalenvektor bzw. Einheitsnormalenvektor

Der hier gezeigte Normalenvektor stellt gleichzeitig den Hauptnormalenvektor dar mit der Länge $1$. Will man aus einem Normalenvektor (Länge $\neq 1$) den Hauptnormalenvektor (Länge $= 1$) berechnen, muss man diesen durch seine Länge teilen:

Länge: $|\vec{n}| =  \frac{1}{\sqrt{(-\dot{y}(t))^2 + (\dot{x}(t))^2}}$

Hauptnormalenvektor $\vec{n_0}: \frac{1}{|\vec{n}|} \cdot \vec{n} = \frac{1}{\sqrt{(-\dot{y}(t))^2 + (\dot{x}(t))^2}} \cdot (-\dot{y}(t), \ \dot{x}(t))$

In diesem Beispiel:

$\vec{n_0} = \frac{1}{\sqrt{(-0,8)^2 + (-0,6)^2}} \cdot \begin{pmatrix} -0,8 \\ -0,6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0,8 \\ -0,6 \end{pmatrix}$

Überblick der unterschiedlichen Darstellungsarten des Normalenvektors

Kurve Normalenvektor in $\vec{x}$

Explizite

$\ y = f(x)$

$\vec{n}=\left(\begin{array}{c} -f'(x) \\  1 \end {array}\right)$

Parameter

$\vec{x} = \left(\begin{array}{c} x(t) \\  y(t) \end {array}\right)$ 

$\vec{n}=\left(\begin{array}{c} -\dot{y} \\ \dot{x} \end {array}\right)$

Polarkoordinaten

$\ r = r(\varphi)$

$\vec{n}=\left(\begin{array}{c} -r\ cos\varphi - \dot{r}\ sin \varphi \\  -r\ sin\varphi + \dot{r}\ cos \varphi \end {array}\right)$

$\ |\vec{n}| = \sqrt{r^2 + \dot{r}^2} $

Explizite Darstellung

Beispiel

Gegeben sei die Funktion: $f(x) = x^2$ und der Punkt $(2, \ 4)$. Wie sieht der dazugehörige Normalenvektor aus?

Der Normalenvektor bei der expliziten Darstellung ergibt sich:

$\vec{n}= (-f'(x), \  1) = (-2x, \ 1)$

Im Punkt $(2, \ 4)$:

$\vec{n} = (-4, \ 1)$

Beispiel: Normalenvektor
Beispiel: Normalenvektor

In der Grafik sieht man den Normalenvektor, dessen Ursprung der Nullpunkt ist und auf den Punkt $(-4, \ 1)$ zeigt. Durch Parallelverschiebung an den Punkt $(2, 4)$ sieht man deutlich, dass der Normalenvektor im 90°-Winkel zum Tangentenvektor steht. Der Normalenvektor im Punkt $(2, \ 4)$:

$\vec{x} = (2, \ 4) + s(-4, \ 1)$

Für den Geradenparamter wurde in der obigen Grafik $s = 0,8$ gewählt (verkürzte Darstellung des Normalenvektors).

Berechnung des Hauptnormalenvektors

Der ermittelte Normalenvektor muss durch seine Länge geteilt werden:

$\vec{n} \cdot \frac{1}{|\vec{n}|} =  \begin{pmatrix} -4 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{(-4)^2 + 1^2}}$

$=  \begin{pmatrix} -4 \\ 1\end{pmatrix} \cdot 0,2425 = \begin{pmatrix} -0,97 \\ 0,2425 \end{pmatrix} $

Das bedeutet somit, dass der Hauptnormalenvektor $\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} -0,97 \\ 0,2425 \end{pmatrix}$ die Länge $1$ besitzt:

$\rightarrow \ $  Länge: $\sqrt{-0,97^2 + 0,2425^2} \approx 1$

Video: Hauptnormalenvektor

Video: Hauptnormalenvektor