Formelsammlung

Hauptnormalenvektor

$\vec{n_0}: \frac{1}{|\vec{n}|} \cdot \vec{n} = \frac{1}{\sqrt{(-\dot{y}(t))^2 + (\dot{x}(t))^2}} \cdot (-\dot{y}(t), \ \dot{x}(t))$

Kurvenintegral

$\ L = \int\limits_a^b ds $

Krümmungsradius:

$r = |\frac{(1 + (f´(x))^2)^{\frac{3}{2}}}{f´´(x)}|$               Explizite Darstellung

$r = |\frac{(\dot{x}^2 + \dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}{\dot{x}\ddot{y} - \ddot{x}\dot{y}}|$                      Parameterdarstellung

Krümmung:

$\kappa (x) = \frac{f´´(x)}{(1 + (f´(x))^2)^{\frac{3}{2}}}$

Krümmungsmittelpunkt

$\vec{x_m} = \vec{x} + \frac{1}{\kappa} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$

bzw.

$x_M = x_0 + \frac{1 + (f´(x_0))^2}{f´´(x_0)} \cdot f´(x_0)$

$y_M = f(x_0) \cdot \frac{1 + (f´(x_0))^2}{f´´(x_0)}$

Evolute

$\vec{x}_M = \vec{x} + \frac{1}{\kappa} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$.

Spirale im Raum in Parameterdarstellung:

$\alpha (t) = \begin{pmatrix} 2 \cos (t) \\ 4 \sin (t) \\ 0,5 t \end{pmatrix} \; ; 0 \le t \le 6\pi$

Tangentenvektor im Raum

$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t), \ \dot{z}(t))$

Tangenteneinheitsvektor im Raum

$\vec{t}_e (t) = \frac{\vec{t} (t)}{|\vec{t} (t)|}$

Hauptnormalenvektor im Raum

$\vec{n}(t) = \frac{(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)}{|(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)|}$

Hauptnormalenvektor aus Tangentenvektor

$\vec{n}(t) = \frac{{\dot{\vec{t}}_e (t)}}{{| \dot{\vec{t}}_e (t)|}}$

Binormalenvektor im Raum

$\vec{b}(t) = \frac{\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)|} = \vec{t}_e (t) \; \text{X} \; \vec{n}(t)$.

Begleitendes Dreibein der Kurve

$\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$,

Zwischen Parameterbelegung $t$ und der Bogenlänge $s$ wechseln

$ ds = |\dot{\vec{r}}(t)| dt = \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| dt = s$

 Tangentenvektor in Bogenlänge

$\vec{t} (s) = \dot{\vec{r}} (t)$

Normalenvektor in Bogenlänge

$\vec{n}(s) = \frac{\ddot{\vec{r}}(s)}{|\ddot{\vec{r}}(s)|}$

Krümmung im Raum

$ |\vec{r}''(s)| = \kappa \ge 0$

Torsion/Windung mit $ \tau= 0 $

$\tau = \frac{(\dot{\vec{r}} \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}) \; \cdot \dddot{\vec{r}}}{|\dot{\vec{r}} \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}|^2}$

Stetigkeit

Eine Funktion  $f$  mit  $x \in D_f$  heißt an der Stelle  $(x_0, y_0)$  stetig, wenn

$(x_0, y_0) \in D_f$

$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}  f(x,y)  = G$   mit  $G \in \mathbb{R}^2$

$G = f(x_0, y_0)$.

Partielle Ableitung 1. Ordnung für $ z = f(x,y)$

Partielle Ableitung 1. Ordnung nach x

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = \dot{f_x}(x, y) = \dot{z_x} $

Partielle Ableitung 1. Ordnung nach y

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = \dot{f_y}(x, y) = \dot{z_y} $

Partielle Ableitung 2. Ordnung 

$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}  f (x,y)= f_{xx} (x,y), $

$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f (x,y) = f_{xy} (x,y), $

$\frac{\partial}{\partial y} f_x (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x} f (x,y) = f_{yx} (x,y), $

$\frac{\partial}{\partial y} f_y (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial y^2}  f (x,y)= f_{yy} (x,y), $

Partielle Ableitung n-ter Ordnung

$\frac{\partial^n}{\partial y^k \partial x^{n-k}} f(x,y) $

Totales Diferential

$\ dy = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} dx_2 + ..... + \frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i$.

Gradient

$\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$.

Richtungsableitung

Die Richtungsableitung $D_r f (P)$ von $ f $ an der Stelle $ P $ in Richtung des Vektors $\vec{r} \not= 0 $ ist durch den folgenden Grenzwert definiert:

$D_r f (P) = \lim\limits_{t \to 0} \frac{f (P + t \cdot \vec{r}) - f (P)}{t} $

Kettenregel für Ableitungen

Die Kettenregel für $ y = F_1 (F_2) $ mit $ F_2 = F_2 (x) $ lautet

$\frac{d_y}{d_x} = \frac{d F_1 ( F_2)}{d F_2} \cdot {d F_2 (x)}{dx} $ .

 Vorgehen zur Bestimmung einer Extremstelle:

1. Man differenziert die Funktion partiell nach $ x$ und $ y$. Hierbei können alle Punkte $ (x_E,y_E)$ gewählt werden, deren partiellen Ableitungen den Wert Null annehmen.

$\ f_x(x_E,y_E) = 0 $ sowie $ f_y(x_E,y_E) = 0$

Hieraus erhält man ein System von zwei Gleichungen für die Unbekannten $\ x_E $ und $\ y_E $, man nennt diese Lösungen stationäre Stellen. 

2. Als nächstes überprüft man, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt indem man die 2. partielle Ableitung von $ x$ und $ y$ bildet und sowie die erste partielle Ableitung nach $ x $ bestimmt und diese anschließend wiederum nach $ y $ ableitet. 

3. Nun berechnet man Delta $\triangle$

$\triangle (x_E,y_E) = f_{xx}(x_E,y_E) \cdot f_{yy}(x_E,y_E) - (f_{xy}(x_E,y_E))^2 $

Ergibt sich aus der Berechnung, dass $\triangle (x_E,y_E) > 0 $ ist, so existiert eine

$\rightarrow $ Maximalstelle, wenn $ f_{xx} (x_E,y_E) < 0 $,

$\rightarrow $ Minimalstelle, wenn $ f_{xx} (x_E, y_E) > 0 $

Ergibt sich hingegen aus der Berechnung, dass $\triangle (x_E,y_E) < 0$ ist, so liegt in im Punkt $\ (x_E,y_E) $ ein Sattelpunkt vor.

Lagransche Hilfsfunktion (Zielfunktion + Nebenbedingung)

$\ L(x,y, \lambda) := f(x,y) + \lambda G(x,y) $.

Ziel ist es die $ (x,y)$ zu finden, für die $\ L_x = L_y = L_{\lambda} = 0 $ sind. Aus diesen Punkten ermittelt man anschließend die Extrempunkte. 

Gewöhnliche Differentialgleichung (implizite Form):

$\ F(x,y,y',... y^{(n)} ) = 0 $

Gewöhnliche Differentialgleichung (explizite Form):

$\ y^{(n)} = f(x,y,..., y^{(n-1)} ) $

Isoklinen

Die Isoklinen einer gewöhnlichen expliziten Differentialgleichung erster Ordnung $ y' = f(x,y) $ sind definiert durch

$\ f(x,y) = const $ .

Anfangswertproblem (Gerade)

$\ y' = f(x,y), $ mit der Bedingung $ y(x_0) = y_0 $

Die Gerade soll also durch den gewählten Punkt verlaufen.
Die Lösung dieses Anfangswertproblems hat die Form

$y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$

Globale Lipschitzbedingung

$f$ genügt in $G \subseteq \mathbb{R}^2$ einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ mit $L \ge 0$:

$ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $ für alle $(x, y_1), \; (x, y_2) \in G$.

Eindeutigkeitssatz:

Lokaler Eindeutigkeitssatz
Der lokale Eindeutigkeitssatz besagt, dass jedes Anfangswertproblem zu einer Differentialgleichung der Form $\ y'(x) = f(x,y), y(a) = y_a $ unter Voraussetzung der Lipschitz-Bedingung innerhalb einer kleinen Umgebung von $ a $ eindeutig gelöst werden kann. Welche Größe diese Umgebung hat, ist von der rechten Seite von $ f(x,y)$ abhängig. 

Globaler Eindeutigkeitssatz
Der globale Eindeutigkeitssatz besagt, dass ein Anfangswertproblem, welches auf einem senkrechten Streifen $ (x,y) \in [a, e] x \mathbb{R}^n $ eine globale Lipschitzbedingung erfüllt , auf dem gesamten Intervall $ [a,e] $ eine eindeutige Lösung besitzt.

Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahren

Man definiert:

$ y_1 (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_0)dt $

$ y_2 (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_1)dt $

...

$ y_{n+1} (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $.

Approximierte Potenzreihe

$e^x = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...$

Regel von de l'Hospital

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} g(x) = \infty$  und  $ g´(x) \neq 0$,  dann

$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \; = \; \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f´(x)}{g´(x)} $

Trennung der Veränderlichen

$\ y' = \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \rightarrow \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx \rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx $.

Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

$y' + a(x) \; y = r(x)$

Inhomogene Differentialgleichung

$y' + a(x) \; y = r(x) $

$y_S = e^{-A(x)} \cdot \int r(x) e^{A(x)} dx$ mit $A(x) = \int a(x) \; dx$

Homogene Differentialgleichung

$y' + a(x) \; y = 0 $.

$y_H = c \; e^{-A(x)} $ mit $A(x) = \int a(x) \; dx$.

Bernoulli-Differentialgleichung

$ y' + a(x)y = r(x) y^{\alpha}$              mit

$\alpha \in \mathbb{R}, \alpha \not= 0, 1 $

$y^{-\alpha} \cdot y' + a(x) y^{ 1 - \alpha} = r(x)$

Substitution der Bernoullig-DGL in lineare Differentialgleichung

$ u = y^{1-\alpha}$ und daraus $u' = (1 - \alpha) y^{-\alpha} y'$ bzw. $y^{-\alpha} \cdot y' = \frac{1}{1 - \alpha} \cdot u'$

Einsetzen dieser Transformationen in die Bernoulli Differentialgleichung erhält man eine lineare parametrisierte inhomogene Differentialgleichung. 

 $\frac{1}{1 - \alpha} u' + a(x) \cdot u = r(x)$

 Ricatti-Differentialgleichung

$\ y' + a(x)y + b(x)y^2 = c(x) $. 

Exakte Differentialgleichung

$p(x, y) + q(x,y) \frac{dy}{dx} = 0$  bzw.  $p(x, y) + q(x,y) y´ = 0$

mit $p(x,y) = M$  und  $q(x,y) = N$

Vorgehensweise für die Bestimmung des integrierenden Faktors

Ausgangssituation: $\ p_y (x,y) \not= q_x (x,y) $

1. Ansatz um die Differentialgleichung exakt zu machen:

$ \mu(x,y) p(x,y)\ dx + \mu(x,y)q(x,y)\ dy = 0$

2. Die daraus resultierende Exaktheitsbedingung $ (\mu p)_y = (\mu q)_x $ liefert

$ \mu_y p + \mu p_y = \mu_x q + \mu q_x \rightarrow \mu_y p - \mu_x p = \mu (q_x - p_y) $.

3. Spezialfälle

Es gilt zu klären ob $ \mu $ von $x$ oder $y$ abhängig ist

Fall 1: $\mu $ hängt nur von $x$ ab.

Dann ist $\mu_y = 0$ und $ m := -\frac{q_x - p_y}{q} $ hängt nur von $ x$ ab.

Der integrierende Faktor ist in diesem Fall

$\mu(x) = \exp (\int m(x) \; dx)$.

Fall 2: $\mu $ hängt nur von $y$ ab.

Dann ist $\mu_x = 0$ und $ m := \frac{q_x - p_y}{p} $ hängt nur von $y$ ab.

Der integrierende Faktor ist nun

$\mu(y) = \exp (\int m(y) \; dy)$.

4. Gefundene(n) integrierende(n) Faktor(en) entsprechend in die Differentialgleichung einsetzen und

5. auf Exaktheit anhand der Gleichung $ p_y (x,y) = q_x (x,y) $ überprüfen.

Differentialgleichung höherer Ordnung

$\ y^{n} + a_{n-1} (x)y^{(n-a)} + ..... + a_1 (x)y' + a_0 (x)y = g(x), x \in \mathbb{I}$.

Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung

$\ y_H (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + c_ny_n (x), c_k \in \mathbb{R} $ [H steht für homogen]

Gesamtlösung der inhomogenen Differentialgleichung

$ y = y_S + y_H \rightarrow y = y_S(x) + c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + c_ny_n (x)$.

Lösung homogener Differentialgleichungen

Zur Lösung einer homogenen Differentialgleichung kann man auf zwei Verfahren zurückgreifen:

1. Lösung mit Hilfe der Wronski-Determinante

2. Lösung mit Hilfe des d' Alembertsche Reduktionsverfahren

Bei beiden Verfahren ist die lineare Unabhängigkeit der Funktionen $ f_1, f_2, ...f_n $ innerhalb der homogenen Differentialgleichung zu überprüfen.

Wronski-Determinante

Es gilt: Sind die Funktionen $ f_1, f_2,..,f_n $ auf $ I (n-1) $ - mal differenzierbar so heißt

$ W(x) := \begin{vmatrix} f_1(x) & ... & f_n(x) \\ f'_1 (x) & ... & f'_n (x)\\ ... & ... & ... & \\ ... & ... & ... & \\ f_1^{(n-a)} (x) & ... & f_n{(n-a)} (x) \end{vmatrix}$  

Die Wronski Determinante von $ f_1, f_2, ... , f_n $. 

D' Alembertsche Reduktionsverfahren

Voraussetzung: $\ y_1 $ ist eine Lösung der homogenen lineare Differentialgleichung 

$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $.

Unter Anwendung des Produktansatzes $\ y(x) = y_1(x) \cdot u(x) $ erhält man nach der Substitution von $ z = u' $ eine homogene lineare Differentialgleichung (n-1) - ter Ordnung für $ z $.

Ist $\ z $ nun eine Lösung der reduzierten Differentialgleichung, so ist $ y_2(x) = y_1(x) \int z(x) dx $.