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Das Vektorprodukt ist anders als das Skalarprodukt ein Vektor und keine Zahl. Gekennzeichnet wird es durch $\times$ statt durch das Multiplikationszeichen $\cdot$. Bei der Schreibweise $\vec{a} \times \vec{b}$ ergibt sich also ein Vektor als Ergebnis, wo hingegen bei der Schreibweise $\vec{a} \cdot \vec{b}$ eine Zahl das Ergebnis ist.
Das Vektorprodukt aus zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ kann wie folgt berechnet werden:
Methode
$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right)$
Der resultierende Vektor steht dabei senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren. Haben wir also z.B. zwei Vektoren in der $x,y$-Ebene gegeben, so zeigt der resultierende Vektor in $z$-Richtung.
In welche Richtung der resultierende Vektor zeigt, kann auch mit Hilfe der rechten-Hand-Regel ermittelt werden:
- Zeigefinger und Mittelfinger zeigen in Richtung der Ausgangsvektoren, welche sich in derselben Ebene befinden.
- Der Daumen, welcher im 90°-Winkel zu Zeige- und Mittelfinger steht, gibt die Richtung des resultierenden Vektors an.
Für die obigen beiden Vektoren kann die rechte Hand Regel also wie folgt angewandt werden:
Zeigefinger zeigt in Richtung des Vektors $\vec{b}$, Mittelfinger in Richtung des Vektors $\vec{a}$. Der Daumen zeigt nach oben, also zeigt auch der resultierende Vektor nach oben.
Flächeninhalt
Die Länge des Vektorprodukts aus zwei Vektoren $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot \sin \; \varphi$ ist der Flächeninhalt des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms:
Anwendungsbeispiel: Vektorprodukt
Beispiel
Lösung: Berechnung des Vektorprodukts
Es sind die obigen beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gegeben, die sich beide in der $x,y$-Ebene befinden ($z$-Anteil ist bei beiden gleich Null). Es ist immer sinnvoll den Anteil der Null beim Vektorprodukt ebenfalls zu berücksichtigen:
$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (4 \cdot 0) - (0 \cdot 3) \\ (0 \cdot 4) - (1 \cdot 0) \\ (1 \cdot 3) - (4 \cdot 4) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -13 \end{array} \right)$
Es ist deutlich zu erkennen, dass ein Vektor resultiert, welcher nur einen Anteil in $z$-Richtung besitzt.
Lösung: Berechnung der Fläche
$F = |\vec{a} \times \vec{b}| $
$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -13 \end{array} \right)$
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-13)^2} = 13$
Der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt also: $13$.
Lösung: Berechnung des Winkels
Um den Winkel zwischen den beiden Vektoren zu berechnen wird wieder die Formel für das Skalarprodukt herangezogen. Im vorherigen Abschnitt haben wir bereits den eingeschlossenen Winkel bestimmt zu:
$\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$
$\cos (\varphi) = \frac{1 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 0 \cdot 0}{\sqrt{1^2 + 4^2 + 0^2} \cdot \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2}}$
$\cos (\varphi) = \frac{16}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{25}}$
$\cos (\varphi) \approx 0,776$
$\varphi = \cos^{-1}(0,776) = 39,1° $
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