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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Höhen- und Schnittlinien

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Höhen- und Schnittlinien

Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt wurde, kann man die dreidimensionale Sicht wählen um eine Funktion mit zwei Variablen darzustellen. Dies stellt allerdings in der Praxis ohne eine geeignete Software ein Problem dar. Deshalb muss versucht werden eine Funktion mit zwei Variablen anders darzustellen. 

Als Ausweg kann man die sogenannte Parameterdarstellung wählen. Bei dieser wird nur eine Variable wirklich als Variable genutzt, indem allen anderen Variablen ein fester Wert zugeordnet wird. Wird zum Beispiel bei einer Funktion $z = f(x,y)$ der $y$-Wert konstant gesetzt ($y = 0$), so wird ein Schnitt durch die Ebene gemacht und es entsteht eine zweidimensionale Darstellung.

Schnitt mit der Ebene

Um sich vorstellen zu können, wie ein solcher Schnitt aussieht, wird als erstes eine Kugel im dreidimensionalen Raum betrachtet:

3D Ansicht einer Kugel
3D Ansicht einer Kugel

In der obigen Grafik ist bereits durch die Pfeile verdeutlicht, dass $y = 0$ gesetzt werden soll. Demnach staucht sich die $y$-Achse zum Nullpunkt zusammen. Man erhält dadurch einen Sicht von der Seite auf die Kugel. Das sieht grafisch so aus:

2D Ansicht einer Kugel
2D Ansicht einer Kugel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Bestimme die Schnitte mit der $yz$- und $xz$ -Ebene der Funktion $\ z= \frac{1}{x^2 + y^2} = c $.

Um grafisch den Schnitt mit der Ebene zu ermitteln, wird eine Ebene konstant gesetzt, in diesem Fall wird $x = 0$ oder $y = 0$ gesetzt. 

Der Schnitt mit der $yz$ -Ebene $[x=0]$ ist : $\ z = \frac{1}{y^2} $

Der Schnitt mit der $xz$ -Ebene $[y=0]$ ist : $\ z = \frac{1}{x^2} $

Höhenlinien

Eine Höhenlinie (oder auch Niveaulinie genannt) stellt die Menge aller Punkte $\ P $ dar, die denselben Funktionswert besitzen. Das heißt, zu einer Niveaulinie gehören alle Punkte, denen der gleiche $Z$ – Wert zugeordnet wird. d.h. für die gilt :

$z = f(x,y) = c $. 

Um die Niveaulinien zu ermitteln setzt man den Wert $c$ konstant, also die Höhe. Man sieht dann von oben auf die Funktion. Jeder Punkt auf der Niveaulinie hat die gleiche Höhe $c$. 

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Ein gutes Beispiel für konstante Variablen findet sich in der Thermodynamik. Hier spricht man z.B. von Isobaren, dh. während in einem Versuchsbehälter  die Temperatur und das Volumen steigt oder sinkt, bzw. zu- oder abnimmt, bleibt der Druck über die ganze Zeit $\ t $ konstant. 

Merke

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  • Bei Rotationsflächen $\ f: P \in \mathbb{R}^2 \rightarrow R$ mit $\ f (x_1,x_2) = g(\sqrt{x_1^2 + x_2^2}) $ sind Niveaulinien Kreise.
  • Bei Ebenen $\ f(x_1,x_2) = a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c $ sind die Höhenlinien Geraden. 

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die Funktion: $\ z = f(x,y) = \frac{y}{1 + x^2}$ Die Höhe soll $c = 0,5$ sein.

Man kann die Funktion nach $y$ auflösen und erhält:

$y = 0,5x^2 + 0,5$

Bei dieser Funktion mit der Höhe $c = 0,5$ ist die Höhenlinie also eine Parabel.

Höhenlinie
Höhenlinie

Bei der Grafik schaut man von oben auf die Funktion und sieht dass die Niveaulinie der Funktion bei $c = 0,5$ eine Parabel ist. Diese Niveaulinie zeigt, dass für alle Punkte, die auf der Niveaulinie liegen die Höhe gleich $0,5$ ist.

Beispiel

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Sei $z = -2; -1; -0,5; 0,5; 1; 2$, wie sehen die Höhenlinien aus?

Die Höhenlinien der Funktion $z = f(x,y) = \frac{y}{1 + x^2}$ sehen wie folgt aus:

$y_1 = -2x^2 - 2$

$y_2 = -x^2 - 1$

$y_3 = -0,5x^2 - 0,5$

$y_4 = 0,5x^2 + 0,5$

$y_5 = x^2 + 2$

$y_6 = 2x^2 + 2$

Es handelt sich bei allen Höhenlinien um Parabeln. Grafisch sehen die Höhenlinien für die unterschiedlichen Höhen wie folgt aus:

Höhenlinien
Höhenlinien