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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Richtungsableitung

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Richtungsableitung

Entgegen dem bisherigen Vorgehen mit den partiellen Ableitungen von $ f_y$ und $ f_x $, also den Ableitungen von $ f $ in $x$-Richtung und $y$-Richtung  ist auch möglich Ableitung in andere Richtungen zu betrachten. 

Methode

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Die Richtungsableitung $\frac{\partial f}{\partial \vec{a}} (\vec{x_0}) $ von $ f $ an der Stelle $ \vec{x_0} $ in Richtung des Vektors $\vec{a} \not= 0 $ ist durch den Grenzwert

$\frac{\partial f}{\partial \vec{a}} (\vec{x_0}) := \lim\limits_{t \to 0} \frac{f (\vec{x_0} + t \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}) - f (\vec{x_0})}{t} $ definiert. 

Die Richtungsableitung hängt nur von der Richtung des Vektors $\vec{a}$ ab, nicht von seiner Länge, aus diesem Grund ersetzt man den Vektor durch den Einheitsvektor $\vec{e}= \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} $ in Richtung $\vec{a}$.

Jeder Einheitsvektor hat die Form $\vec{e}(\varphi) = (\cos (\varphi), \sin (\varphi)), 0 \le \varphi \le 2\pi $ (Einheitskreis = Länge $1$).

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei folgende Funktion $ f(x,y)=\left(\begin{array}{ll}\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & (x,y)= (0,0)\end{array}\right) $.

Wie sieht der Grenzwert zur Bestimmung von Richtungsableitungen im Punkt $(0,0)$ aus, wenn man ihn statt des Richtungsvektor nun mit dem Einheitsvektor bestimmt, und wie ist die Richtungsableitung?


$f$ ist in $(0,0)$ stetig, da

$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^3 (\varphi) - r^3 \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)}{r^2}$

$= \lim\limits_{r \to 0} \ r (\cos^2 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)) = 0 = f(0,0) $ 

Nachdem der Grenzwert existiert wird nun die oben angebene Formel angewandt:

 $\frac{\partial f}{\partial \vec{a}} (\vec{x_0}) := \lim\limits_{t \to 0} \frac{f (\vec{x_0} + t \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}) - f (\vec{x_0})}{t} $

Durch Substitution von $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ durch $\vec{e} $ erhält man deshalb im Punkt $(0,0)$ den Ausdruck

$\frac{\partial f}{\partial \vec{e}} (0,0) := \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t} \ f ((0,0) +  (t \cos (\varphi), \ t \sin (\varphi)) - f (0,0)$

$= \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t} \frac{ t^3 ( \cos^3 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi))}{t^2 \cos^2 (\varphi) + t^2 \sin^2 (\varphi)}$

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Trigonometrische Umformungen:

$\cos^2 (\varphi) + \sin^2 (\varphi) = 1$


 $= \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t} \frac{t^3}{t^2} \cdot \cos^3 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)$

$= \cos^3 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)$

Die Richtungsableitung von $\ f$ in Richtung $\vec{e} $ ist somit: $ \cos^3 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi) $ 

und die Funktion ist im Nullpunkt in alle Richtungen differenzierbar:

$\varphi = 0° \; \; : \; \cos^3 (0) - \cos (0) \sin^2 (0) = 1$ 

$\varphi = 90° \; \; : \; \cos^3 (90) - \cos (90) \sin^2 (90) = 0$ 

...

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Hier klicken zum Ausklappen Die Existenz von Richtungsableitungen lässt grundsätzlich nicht auf eine totale Differenzierbarkeit der Funktion schließen, jedoch kann bestimmt werden, ob eine Funktion partiell differenzierbar ist oder nicht.

Richtungsableitung und Gradient

Ist nun eine bestimmte Richtung vorgegeben, also der Vektor $\vec{a}$ und ist die Funktion partiell differenzierbar, dann ist es möglich die Richtungsableitung einer Funktion $f(x,y)$ in einem Punkt $(x_0, y_0)$ in Richtung des Vektors $\vec{a}$ (analog für $f(x,y,z)$) mithilfe des Gradienten zu bestimmen.

Die Richtungsableitung ergibt sich dann aus dem Skalarprodukt von $\text{grad} f(x_0, y_0)$ mit dem Einheitsvektor $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ in Richtung $\vec{a}$.

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Dies ist allerdings nur möglich, wenn die Funktion $f$ partiell differenzierbar ist.

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion: $f(x,y) = x^2 + y^3$. Bestimme die Richtungsableitung im Punkt $(2,4)$ in Richtung des Vektors $\vec{a} = (-3, 4)$.

1. Bestimmung des Gradienten:

$\text{grad} f(x,y) = (2x \ , \ 3y^2)$

2. Bestimmung des Gradienten im Punkt $(2,4)$:

$\text{grad} f(2,4) = (2 \cdot 2 \ , \ 3 \cdot 4^2) = (4 \ , \ 48)$

3. Normierung des Vektors $\vec{a}$ als Einheitsvektor:

$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} (-3 \ , \ 4)$

4. Bestimmung der Richtungsableitung:

$\text{grad} f(2,4) \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = (4 \ , \ 48) \cdot \frac{1}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} (-3 \ , \ 4)$

$= (4 \ , \ 48) \frac{1}{5} (-3 \ , \ 4) = (4 \ , \ 48) \cdot \begin{pmatrix} -3/5 \\ 4/5 \end{pmatrix} = 36$

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $f(x,y) = x^2 + 3 x y$.  Bestimme die Richtungsableitung im Punkt $(3,2)$ in Richtung des Vektors $\vec{a} = (1, -2)$.

1. Bestimmung des Gradienten:

$\text{grad} f(x,y) = (2x + 3y \ , \ 3x)$

2. Bestimmung des Gradienten im Punkt $(3,2)$:

$\text{grad} f(3,2) = (12 \ , \ 9)$

3. Normierung des Vektors $\vec{a}$ als Einheitsvektor:

$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} (1 \ , \ -2)$

4. Bestimmung der Richtungsableitung:

$\text{grad} f(3,2) \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = (12 \ , \ 9) \cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} (1 \ , \ -2)$

$= (12 \ , \ 9) \frac{1}{\sqrt{5}} (1 \ , \ -2) = (12 \ , \ 9) \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} = \frac{-6}{\sqrt{5}}$