Richtungsableitung

Hier erklären wir dir anschaulich die allgemeine Bestimmung der RichtungsAbleitung sowie Bestimmung der Richtungsableitung mit dem Gradienten.

Richtungsableitung - was ist das?

Haben wir zum Beispiel Funktionen mit nur einer Variablen (z.B. $f(x)$) gegeben, so gibt die Ableitung $f'(x_0)$ an der Stelle $x_0$ an, wie sich der Funktionswert verändert, wenn von der Stelle $x_0$ aus einen kleinen Schritt nach links oder nach rechts gehen. Wir bewegen uns also in Richtung der $x$-Achse.

Haben wir nun aber eine Funktion mit mehreren Variablen gegeben (z.B. $f(x,y)$), so gibt die partielle Ableitung $f'(x_0, y_0)$ an der Stelle $P = (x_0, y_0)$ an, wie sich der Funktionswert ändert, wenn von der Stelle $P$ aus ein kleiner Schritt in Richtung der $x$- und $y$-Achse gemacht wird. Wir können uns nicht mehr nur nach links oder rechts bewegen (also entlang der $x$-Achse), sondern in der Ebene (auch in $y$-Richtung).

Voraussetzungen für die Richtungsableitung

Um die Richtungsableitung an einer gegebenen Stelle bestimmen zu können, benötigen wir:

• Eine Funktion $f(x_1, ..., x_n)$,
• einen Punkt (Stelle) $P(x_1, ..., x_n)$ und
• einen Vektor $\vec{r}$, welcher die Richtung angibt.

Sind die Voraussetzungen erfüllt, so kann die Richtungsableitung wie folgt berechnet werden:

Die Richtungsableitung hängt nur von der Richtung des Vektors $\vec{r}$ ab, nicht von seiner Länge, aus diesem Grund ersetzt man den Vektor durch den Einheitsvektor $\vec{r_e}= \frac{1}{|\vec{r}|}\vec{r} $ in Richtung $\vec{r}$.

Anwendungsbeispiel

1.Schritt:

Schauen, ob die Funktion an der Stelle $P(0,0)$ stetig ist.

Aus dem Kurstext Stetigkeit und Unstetigkeit wissen wir:

Man kann die Stetigkeitsuntersuchung im Nullpunkt $(0,0)$ mithilfe von Polarkoordinaten zeigen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn es sich um rationale Funktionen handelt. Man setzt dafür:

$x = r \cos (\varphi)$

$y = r \sin (\varphi)$

und lässt $r$ gegen Null laufen.

Einsetzen in die gegebene Funktion:

$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^3 \cos^3 (\varphi) - r^3 \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)}{r^2}$

$= \lim\limits_{r \to 0} \ r (\cos^2 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)) = 0 = f(0,0) $ 

Die Funktion $f(x,y)$ ist an der Stelle $P(0,0)$ stetig.

2.Schritt: Anwendung der Formel

Nachdem der Grenzwert existiert wird nun die oben angebene Formel angewandt:

$D_r f (P) = \lim\limits_{t \to 0} \frac{f (P + t \cdot \vec{r}) - f (P)}{t} $

Bei dieser Gleichung ist wichtig, dass der Vektor $\vec{r}$ als Einheitsvektor in die Berechnung eingeht. Da wir in diesem Beispiel aber keinen Vektor vorgegeben haben, substituieren wir $\vec{r}$ durch den allgemeinen Einheitsvektor

Es ergibt sich dann:

$D_r f (P) = \lim\limits_{t \to 0} \frac{f (P + t \cdot \vec{e}(\varphi)) - f (P)}{t} $

Wir setzen nun also $ t \cdot \vec{e}(\varphi)$ in die Funktion ein:

$f(t \cdot \vec{e}(\varphi)) = \frac{ t^3 ( \cos^3 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi))}{t^2 \cos^2 (\varphi) + t^2 \sin^2 (\varphi)}$

Und wenden die obige Formel an:

$D_r f (0,0) = \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot ((0,0) + \frac{ t^3 ( \cos^3 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi))}{t^2 \cos^2 (\varphi) + t^2 \sin^2 (\varphi)}) - (0,0) $

$D_r f (0,0) = \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot ((0,0) + \frac{ t^3 ( \cos^3 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi))}{t^2 \cos^2 (\varphi) + t^2 \sin^2 (\varphi)}) - (0,0) $

Da nach der Aufgabenstellung $f(0,0) = 0$ ergibt sich:

$D_r f (0,0) = \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot (\frac{ t^3 ( \cos^3 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi))}{t^2 \cos^2 (\varphi) + t^2 \sin^2 (\varphi)}) $

$D_r f (0,0) = \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot (\frac{ t^3 ( \cos^3 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi))}{t^2}) $

 $= \lim\limits_{t \to 0} \frac{t^3}{t^3} \cdot \cos^3 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)$

$= \cos^3 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi)$

Die Richtungsableitung von $\ f$ in Richtung $\vec{e} $ ist somit: $ \cos^3 (\varphi) - \cos (\varphi) \sin^2 (\varphi) $ 

und die Funktion ist im Nullpunkt in alle Richtungen differenzierbar:

$\varphi = 0° \; \; : \; \cos^3 (0) - \cos (0) \sin^2 (0) = 1$ 

$\varphi = 90° \; \; : \; \cos^3 (90) - \cos (90) \sin^2 (90) = 0$ 

...

Richtungsableitung und Gradient

Ist nun eine bestimmte Richtung vorgegeben, also der Vektor $\vec{a}$ und ist die Funktion partiell differenzierbar, dann ist es möglich die Richtungsableitung einer Funktion $f(x,y)$ in einem Punkt $(x_0, y_0)$ in Richtung des Vektors $\vec{a}$ (analog für $f(x,y,z)$) mithilfe des Gradienten zu bestimmen.

Die Richtungsableitung ergibt sich dann aus dem Skalarprodukt von $\text{grad} f(x_0, y_0)$ mit dem Einheitsvektor $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ in Richtung $\vec{a}$.

1. Bestimmung des Gradienten:

$\text{grad} f(x,y) = (2x \ , \ 3y^2)$

2. Bestimmung des Gradienten im Punkt $(2,4)$:

$\text{grad} f(2,4) = (2 \cdot 2 \ , \ 3 \cdot 4^2) = (4 \ , \ 48)$

3. Normierung des Vektors $\vec{a}$ als Einheitsvektor:

$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} (-3 \ , \ 4)$

4. Bestimmung der Richtungsableitung:

$\text{grad} f(2,4) \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = (4 \ , \ 48) \cdot \frac{1}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} (-3 \ , \ 4)$

$= (4 \ , \ 48) \frac{1}{5} (-3 \ , \ 4) = (4 \ , \ 48) \cdot \begin{pmatrix} -3/5 \\ 4/5 \end{pmatrix} = 36$

Gehen wir nun also an der Stelle $(2,4)$ einen Schritt der Länge |1| in Richtung des Vektors $\vec{a}$, so erhöht sich der Funktionswert um 36.

1. Bestimmung des Gradienten:

$\text{grad} f(x,y) = (2x + 3y \ , \ 3x)$

2. Bestimmung des Gradienten im Punkt $(3,2)$:

$\text{grad} f(3,2) = (12 \ , \ 9)$

3. Normierung des Vektors $\vec{a}$ als Einheitsvektor:

$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} (1 \ , \ -2)$

4. Bestimmung der Richtungsableitung:

$\text{grad} f(3,2) \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = (12 \ , \ 9) \cdot \frac{1}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} (1 \ , \ -2)$

$= (12 \ , \ 9) \frac{1}{\sqrt{5}} (1 \ , \ -2) = (12 \ , \ 9) \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} = \frac{-6}{\sqrt{5}}$

Gehen wir nun also an der Stelle $(3,2)$ einen Schritt der Länge |1| in Richtung des Vektors $\vec{a}$, so verringert sich der Funktionswert um $\frac{-6}{\sqrt{5}}$.