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Technische Mechanik 1: Statik - Schnittmethode und Schnittgrößen

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Technische Mechanik 1: Statik

Schnittmethode und Schnittgrößen

Schnittgrößen beschreiben die Wirkung von Kräften und Momenten innerhalb eines Bauteils. Diese inneren Kräfte geben Aufschluss bezüglich der auftretenden Materialbelastung. Dieses Wissen ist für die Bestimmung der Tragfähigkeit und der Dimensionierung eines Bauteils sehr wichtig. Im ebenen und im mehrdimensionalen Fall erfolgt die Freilegung von inneren Kräften mit Hilfe eines senkrechten Schnitts zur Balkenachse. Die über die gesamte Querschnittfläche verteilten Kräfte werden der Vereinfachung halber durch die Resultierende $\ R $ und das resultierende Moment [Biegemoment] $\ M $ ausgedrückt. Der Punkt von dem aus die Resultierende und das resultierende Moment wirken, ist gleich dem Schwerpunkt $ S $ der Querschnittfläche. Zerlegt man die Resultierende $ R $ in ihre Komponenten, so erhält man zudem Kenntnis bezüglich der Normalkräfte $ N $ und der Querkräfte $ Q $, welche innerhalb des Bauteils wirken. 

Bei der Beschreibung innerer Kräfte eines Balken treten drei Kräfte auf: 

1. Normalkraft $ N$,

2. Querkraft $ Q$ und

3. Biegemoment $ M$. 

Führt man beispielsweise einen Schnitt an einem Balken durch, wie in der Grafik veranschaulicht, so erhält man zwei Teile. An den Schnittflächen eines jeden Teils wirken alle der oben beschriebenen Kräfte. 

Schnittufer Schnittgrößen
Schnittufer

Merke

Schneidet man ein Tragwerk in zwei Teile, so gilt zu beachten, dass aufgrund des Wechselwirkungsgesetzes die Kräfte auf der einen Schnittfläche betragsmäßig mit denen der anderen Schnittfläche übereinstimmen müssen.  

An Stelle des Terminus Schnittfläche hat sich der Begriff Schnittufer durchgesetzt. Durch die Trennung des Tragwerks in zwei Teile erhält man sowohl ein positives, als auch ein negatives Schnittufer. Dabei hat sich ebenfalls durchgesetzt, dass das Schnittufer, welches einen Normalenvektor $n$ in positive x-Richtung besitzt, als positiv bezeichnet wird. Beim positiven Schnittufer zeigen alle Schnittgrößen in positive Richtung. Dabei muss das obige Koordinatensystem berücksichtigt werden. Die Normalkraft $N$ zeigt in positive $x$-Richtung, die Querkraft $Q$ in positive $z$-Richtung und das Biegemoment besitzt einen positiven Drehsinn (Linksdrehung). Es liegt dann also eine Drehung um die $y$-Achse entgegen des Uhrzeigersinns vor.

Zeigt der Normalenvektor $n$ eines Schnittufers in die negative $x$-Richtung, so spricht man entsprechend von einem negativen Schnittufer. In diesem Fall zeigen alle Schnittgrößen in negative Richtung und das Biegemoment dreht sich mit dem Uhrzeigersinn um die $y$-Achse. Dies entspricht einem negativen Drehsinn.

Zudem sollte man sich merken, dass ein Zusammenhang zwischen dem Biegemoment und der Querkraft besteht. Differenziert man das Biegemoment $ M $ nach $ x $, so erhält man die Querkraft $ Q $:

Methode

$ \frac{dM}{dx} = Q $.  

Merke

PPP = positive Koordinatenrichtungen der positiven Schnittgrößen $\rightarrow $ Positives Schnittufer.
NNN = negative Koordinatenrichtungen der negativen Schnittgrößen $\rightarrow $ Negatives Schnittufer.

Wichtig

Gerade in Klausuren sollte immer darauf geachtet werden, welchen Richtungssinn das vorgegebene Koordinatensystem besitzt. Oft wird das Koordinatensystem seitenverkehrt vorgegeben, was zu einem Wechsel von positivem und negativem Schnittufer führt.

Einer besonderen Behandlung bedarf die Bestimmung von Schnittgrößen an Bögen oder Rahmen. Hier erhält jedes Tragwerkteil eine gestrichelte Linie, welche direkt unterhalb des Tragwerkteils eingezeichnet wird. Diese Linie nennt man "gestrichelte Faser". Diese Faser dient zur Orientierung. So verläuft die x-Achse immer entlang dieser Faser und die z-Achse senkrecht zur gestrichelten Seite dieser Faser. Diese Vorgehensweise gewährleistet eine eindeutige Schnittgrößenfestlegung.  

Faser und Achsen
Faser und Achsen