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Technische Mechanik 1: Statik - Schnittmethode und Schnittgrößen

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Technische Mechanik 1: Statik

Schnittmethode und Schnittgrößen

Inhaltsverzeichnis

Die von außen auf einen Balken wirkenden Kräfte (äußere Belastungen) verursachen Kräfte im Inneren des Tragwerks. Diese innere Kräfte werden als Schnittgrößen bezeichnet und beschreiben die Wirkung von äußeren Kräften und Momenten innerhalb eines Bauteils. 

Die Schnittgrößen geben Aufschluss bezüglich der auftretenden Materialbelastung am Tragwerk, welche für die Bestimmung der Tragfähigkeit und der Dimensionierung eines Bauteils notwendig ist. Die Freilegung der inneren Kräften (Schnittgrößen) erfolgt mit Hilfe eines senkrechten Schnitts zur Balkenachse

Bei der Beschreibung innerer Kräfte eines Balken treten drei Kräfte auf: 

1. Normalkraft $ N$,

2. Querkraft $ Q$ und

3. Biegemoment $ M$. 

Führt man beispielsweise einen Schnitt an einem Balken durch, wie in der Grafik veranschaulicht, so erhält man zwei Ufer, das linke und das rechte Schnittufer.

Schnittgrößen - Schnittufer
Schnittgrößen - Schnittufer

 

 

Merke

Hier klicken zum AusklappenSchneidet man ein Tragwerk in zwei Teile, so gilt zu beachten, dass aufgrund des Wechselwirkungsgesetzes die Kräfte auf der einen Schnittfläche betragsmäßig mit denen der anderen Schnittfläche übereinstimmen müssen.  

An Stelle des Terminus Schnittfläche hat sich der Begriff Schnittufer durchgesetzt. Durch die Trennung des Tragwerks in zwei Teile erhält man sowohl ein linkes, als auch ein rechtes Schnittufer. Am linken Schnittufer zeigt die Querkraft $Q$ nach unten, die Normalkraft $N$ nach rechts und das Moment $M$ dreht in einer Linksdrehung um die $y$-Achse, welche man sich aus der Zeichnung hervorkommend vorstellt. Am rechten Schnittufer zeigen alle Schnittgrößen in entgegengesetzte Richtung und das Moment dreht in einer Rechtsdrehung im die $y$-Achse.

Hinweis

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Es ist natürlich möglich, dass die Schnittgrößen tatsächlich in die genau entgegengesetzte Richtung zeigen. Grundsätzlich nimmt man die Schnittgrößen wie oben gezeigt an. Resultieren dann negative Werte, so wirken die Schnittgrößen genau entgegengesetzt zur angenommenen Richtung.

Es hat sich durchgesetzt, dass das Schnittufer mit einem Normalenvektor $n$ in positive x-Richtung als positives Schnittufer bezeichnet wird. Beim positiven Schnittufer zeigen alle Schnittgrößen in positive Achsenrichtung. Dabei muss das obige Koordinatensystem berücksichtigt werden. Die Normalkraft $N$ zeigt in positive $x$-Richtung, die Querkraft $Q$ in positive $z$-Richtung und das Biegemoment besitzt einen positiven Drehsinn (Linksdrehung). Es liegt dann also eine Linksdrehung (positiver Drehsinn) um die $y$-Achse vor. Demnach ist in diesem Fall das linke Schnittufer gleichzeitig das positive Schnittufer.

Zeigt der Normalenvektor $n$ eines Schnittufers in die negative $x$-Richtung, so spricht man entsprechend von einem negativen Schnittufer. In diesem Fall zeigen alle Schnittgrößen in negative Richtung und das Biegemoment dreht sich in einer Rechtsdrehung um die $y$-Achse. Dies entspricht einem negativen Drehsinn. Für das in der Grafik dargestellte Koordinatensystem ist das rechte Schnittufer also gleichzeitig das negative Schnittufer.

Zudem sollte man sich merken, dass ein Zusammenhang zwischen dem Biegemoment und der Querkraft besteht. Differenziert man das Biegemoment $ M $ nach $ x $, so erhält man die Querkraft $ Q $:

Methode

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$ \frac{dM}{dx} = Q $.  

Merke

Hier klicken zum AusklappenPPP = positive Koordinatenrichtungen der positiven Schnittgrößen $\rightarrow $ Positives Schnittufer.
NNN = negative Koordinatenrichtungen der negativen Schnittgrößen $\rightarrow $ Negatives Schnittufer.

Hinweis

Hier klicken zum AusklappenGerade in Klausuren sollte immer darauf geachtet werden, welchen Richtungssinn das vorgegebene Koordinatensystem besitzt. Oft wird das Koordinatensystem seitenverkehrt vorgegeben, was zu einem Wechsel von positivem und negativem Schnittufer führt. Dann ist das linke Schnittufer das negative und das rechte Schnittufer das positive Schnittufer.

Die inneren Kräfte (Schnittgrößen) müssen den äußeren Kräfte standhalten, damit der Balken sich weder verformt noch knickt. Es herrscht also in der Statik ein Gleichgewicht zwischen inneren und äußeren Kräften. Wir können also die Gleichgewichtsbedingungen anwenden, um die Schnittgrößen zu bestimmen.

Schnittgrößen am Rahmen

Einer besonderen Behandlung bedarf die Bestimmung von Schnittgrößen an Bögen oder Rahmen. Hier erhält jedes Tragwerkteil eine gestrichelte Linie, welche direkt unterhalb des Tragwerkteils eingezeichnet wird. Diese Linie nennt man "gestrichelte Faser". Diese Faser dient zur Orientierung. So verläuft die x-Achse immer entlang dieser Faser und die z-Achse senkrecht zur gestrichelten Seite dieser Faser. Diese Vorgehensweise gewährleistet eine eindeutige Schnittgrößenfestlegung.  

Faser und Achsen
Faser und Achsen