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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Gewöhnliche Differentialgleichungen

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen

In der Mathematik spricht man bei einer Gleichung, deren Ableitungen lediglich von einer Variablen abhängig sind, von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, im anderen Fall spricht man von der bisher bekannten partiellen Differentialgleichung.

Zudem lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung auch nach  Merkmalen kategorisieren, die in der folgenden Übersicht aufgelistet sind:

Form

Hierbei stellt $\ F(x,y,y',... y^{(n)} ) = 0 $ die implizite Form einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung dar und $\ y^{(n)} = f(x,y,..., y^{(n-1)} ) $ die explizite Form

Ordnung

Die Ordnung einer gewöhnlichen Differentialgleichung orientiert sich an der höchsten Ableitung, die in der Gleichung auftritt.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Die Gleichung $\ y'' + y^3 = sin\ x $ hat die Ordnung 2. Die Gleichung $\ y''' + y = cos\ x $ sogar die Ordnung 3. 

Wie man sieht lässt sich die Ordnung einer gewöhnlichen Differentialgleichung auf den ersten Blick, ohne großen Rechenaufwand bestimmen.

Linearität

Eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung ist linear, wenn Funktion $ F$ linear in $\ y, y', .., y^{(n)} $ ist. Trifft dies nicht zu, so ist die gewöhnliche Differentialgleichung nicht-linear.

Homogenität

Hängt die Funktion F nicht von $x$ ab, so handelt es sich um eine homogene gewöhnliche Differentialgleichung.

Eine solche Funktion ist $ F (y,...,y{(n)} )$ [ Der andere Fall wäre $ F(x,y,...,y{(n)} )$ ].

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen $\ y''' + y = 0 $ ist homogen, $\ y''' + x = 0 $ ist inhomogen.

Soll durch die Variable x beispielsweise die Zeit ausgedrückt werden, so spricht man vorzugsweise von zeit(un)abhängig statt (in)homogen.