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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten können relativ einfach gelöst werden. 

homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Ist die Differentialgleichungen der Form 

$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = s(x) $ ,

mit Konstanten $ a_0, a_1, ..., a_{n-1}$ gegeben, so löst man die homogene Differentialgleichung 

$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $

mit Hilfe des Ansatzes 

$\ y = e^{\lambda x}$.

Hieraus erhält man die charakteristische Gleichung

$\lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + .... + a_1\lambda + a_0 = 0$. 

Merke

Es gilt, dass jede k-fache Lösung der charakteristischen Gleichung auch k Lösungen der homogenen Differentialgleichung liefert.

Alle linear unabhängigen Funktionen $ y_1, y_2, ..., y_n $ bilden eine Lösungsbasis der Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung ist

$ y = c_1y_1 + .... + c_ny_n, c_k \in \mathbb{R} $

Nachstehend eine Tabelle mit Nullstellen der charakteristischen Gleichung und die zugehörigen Basislösungen.

Nullstellen der charakteristischen Gleichung Basislösungen der homogenen Differentialgleichung 
 $ 1, -2, 3 $ $ e^x, e^{-2x}, e^{3x} $
$ 0, \sqrt{3}, 1 + \sqrt{2} $ $ 1, e^{\sqrt{3}x}, e^{(1 + \sqrt{2})x} $
$ 0, 0, 2, 2, 2 $ $ 1, x, e^{2x}, xe^{2x}, x^2e^{ex} $
$ 1, 2 \pm 3i $ $ e^x, e^{2x}cos3x, e^{2x}sin3x $

Anwendungsbeispiel: Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Beispiel

Löse die folgenden homogene Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
$\ y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0 $

Zuerst gilt es die homogene Differentialgleichung als charakteristische Gleichung darzustellen

$\color{grey}{y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0} \rightarrow \lambda^3 - 2\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 $.

Anschließend bestimmt man die Lösungen der charakteristischen Gleichung

$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -2, \lambda_3 = 3 $.

Nun ist es auch möglich die linear unabhängigen Lösungen zu bestimmen

$ y_1 = e^x, y_2 = e^{-2x}, y_3 = 3^{3x} $.

Im letzten Schritt erzeugt man aus den lin. unabhängigen Lösungen die Gesamtlösung der Differentialgleichung

$ y = c_1ex + c_2e^{-2x} + c_3e{3x} $

Beispiel

Löse folgende homogene Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: $y''' - 2y'' - 8y' = 0$

Zuerst gilt es die homogene Differentialgleichung als charakteristische Gleichung darzustellen

$y''' - 2y'' - 8y' = 0 \rightarrow \lambda^3 - 2\lambda^2 - 8\lambda = 0$

Anschließend bestimmt man die Lösungen der charakteristischen Gleichung

$\lambda^3 - 2\lambda^2 - 8\lambda = 0$

$\lambda(\lambda^2 - 2\lambda - 8) = 0 \; \rightarrow \; \lambda_1 = 0$

$(\lambda^2 - 2\lambda - 8) = 0$

Anwendung der p/q-Formel:

$\lambda_{2,3} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$\lambda_{2,3} = \frac{2}{2} \pm \sqrt{(-\frac{2}{2})^2 + 8}$

$\lambda_2 = 4$

$\lambda_3 = -2$

Nun ist es auch möglich die linear unabhängigen Lösungen zu bestimmen

$y_1 = e^{0x} = 1$

$y_2 = e^{4x}$

$y_3 = e^{-2x}$

Im letzen Schritt erzeugt man aus den lin. unabhängigen Lösungen die Gesamtlösung der Differentialgleichung

$y = c_1 + c_2  e^{4x} + c_3  e^{-2x}$

Beispiel

Löse folgende homogene Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: $y'''' + y'''$

Zuerst gilt es die homogene Differentialgleichung als charakteristische Gleichung darzustellen

$\lambda^4 + \lambda^3 = 0$

Anschließend bestimmt man die Lösungen der charakteristischen Gleichung

$\lambda^3 (\lambda + 1) = 0$

$\lambda^3 = 0 \; \rightarrow \lambda_{1,2,3} = 0 \;$    Dreifache Nullstelle

$(\lambda + 1) = 0 \; \rightarrow \; \lambda_4 = -1$

Nun ist es auch möglich die linear unabhängigen Lösungen zu bestimmen

$y_1 = e^{0x} = 1$

$y_2 = x \cdot e^{0x} = x$

$y_3 = x \cdot x \cdot e^{0x} = x^2$

$y_4 = e^{-x}$

Im letzten Schritt erzeugt man aus den lin. unabhängigen Lösungen die Gesamtlösung der Differentialgleichung

$y = c_1 + c_2 x + c_3  x^2 + c_4 e^{-x}$