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Differentialgleichung höherer Ordnung

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 Am 06.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Eine Differentialgleichung höherer Ordnung hat die Form

$\ y^{n} + a_{n-1} (x)y^{(n-a)} + ..... + a_1 (x)y' + a_0 (x)y = g(x), x \in \mathbb{I}$.

Die Koeffizientenfunktionen $ a_k (x) $ sowie die Störfunktion $ g(x) $ sind beide auf dem Intervall $\mathbb{I} $ stetig.

Ist die Störfunktion $ g(x) \equiv 0 $ so bezeichnet man diese Differentialgleichung als homogen, ist die Störfunktion hingegen
$ g(x) \not\equiv 0 $ so handelt es sich um eine inhomogene Differentialgleichung.

Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung

Die Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung ist ein n-dimensionaler linearer Raum, welcher die Eigenschaft besitzt, dass sowohl die Summe zweier Lösungen, als auch das Vielfache einer Lösung, wiederum eine Lösung ergibt.

Da jeder linearer Raum eine Basis besitzt, existieren auch n-Basislösungen der Differentialgleichungen $ y_1, y_2,...y_n $, mit Hilfe deren sich jede Lösung $ y_h$ linear kombinieren lässt:

$\ y_H (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + c_ny_n (x), c_k \in \mathbb{R} $ [H steht für homogen]

Gesamtlösung der inhomogenen Differentialgleichung

Die Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung ist ein n-dimensionaler affiner linearer Raum, den man erhält, wenn man die Lösungsgesamtheit der homogenen Differentialgleichung um eine spezielle Lösung $\ y_S $ [affine Lösung] verschiebt:

$ y = y_S + y_H \rightarrow y = y_S(x) + c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + c_ny_n (x)$.

Wichtig

In den folgenden Abschnitten wird auf die Techniken zu Lösung von homogenen und inhomogenen Differentialgleichungen ausführlich eingegangen. 

Bild von Autor Jan Morthorst

Autor: Jan Morthorst

Dieses Dokument Differentialgleichung höherer Ordnung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche DifferentialgleichungenHöhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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  • Kurs: Höhere Mathematik 2
    • Einleitung zu Kurs: Höhere Mathematik 2
  • Darstellungsarten ebener Kurven
    • Einleitung zu Darstellungsarten ebener Kurven
    • Implizite- und explizite Darstellung
    • Polarkoordinatendarstellung
    • Parameterdarstellung
  • Kurveneigenschaften im ebenen Raum
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  • Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    • Einleitung zu Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    • Tangentenvektor im Raum
    • Hauptnormalenvektor im Raum
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    • Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
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    • Stetigkeit und Unstetigkeit
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      • Partielle Ableitung erster Ordnung
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