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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Differentialgleichung höherer Ordnung

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Differentialgleichung höherer Ordnung

Eine Differentialgleichung höherer Ordnung hat die Form

$\ y^{n} + a_{n-1} (x)y^{(n-a)} + ..... + a_1 (x)y' + a_0 (x)y = g(x), x \in \mathbb{I}$.

Die Koeffizientenfunktionen $ a_k (x) $ sowie die Störfunktion $ g(x) $ sind beide auf dem Intervall $\mathbb{I} $ stetig.

Ist die Störfunktion $ g(x) \equiv 0 $ so bezeichnet man diese Differentialgleichung als homogen, ist die Störfunktion hingegen
$ g(x) \not\equiv 0 $ so handelt es sich um eine inhomogene Differentialgleichung.

Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung

Die Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung ist ein n-dimensionaler linearer Raum, welcher die Eigenschaft besitzt, dass sowohl die Summe zweier Lösungen, als auch das Vielfache einer Lösung, wiederum eine Lösung ergibt.

Da jeder linearer Raum eine Basis besitzt, existieren auch n-Basislösungen der Differentialgleichungen $ y_1, y_2,...y_n $, mit Hilfe deren sich jede Lösung $ y_h$ linear kombinieren lässt:

$\ y_H (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + c_ny_n (x), c_k \in \mathbb{R} $ [H steht für homogen]

Gesamtlösung der inhomogenen Differentialgleichung

Die Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung ist ein n-dimensionaler affiner linearer Raum, den man erhält, wenn man die Lösungsgesamtheit der homogenen Differentialgleichung um eine spezielle Lösung $\ y_S $ [affine Lösung] verschiebt:

$ y = y_S + y_H \rightarrow y = y_S(x) + c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x) + c_ny_n (x)$.

Wichtig

In den folgenden Abschnitten wird auf die Techniken zu Lösung von homogenen und inhomogenen Differentialgleichungen ausführlich eingegangen.