Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren

Eine Funktion, welche den Eindeutigkeitssatz erfüllt, und somit auch die Lipschitzbedingung mit Lipschitzkonstante L erfüllt, kann iterativ gelöst werden. Hierzu formt man das Anfangswertproblem in eine Integralgleichung um. 

Nach dieser Umformung ist es möglich die Integralgleichung iterativ zu lösen, womit man zum Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahren gelangt.

Anwendungsbeispiel: Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf

Aus der Anfangsbedingung $y(0) = 1$ kann abgelesen werden: $x_0 = 0$ und $y_0 = 1$

$\ y_0 (x) \equiv 1 $

$\ y_1 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot 1 \ dt = 1 + [t^2] = 1 + x^2 - 0 = 1 + x^2 $

$\ y_2 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot (1 + t^2) dt = 1 + \int\limits_0^x  2t + 2t^3 \ dt$

$= 1 + 2 \int\limits_0^x t \ dt + 2\int\limits_0^x t^3 \ dt= 1 + 2 \cdot \frac{1}{2}t^2 + 2 \cdot \frac{1}{4} t^4$

$= [1 + t^2 + \frac{1}{2} t^4]_0^x = 1 + x^2 + \frac{1}{2} x^4$

$\ y_3 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t(1 + t^2 + \frac{1}{2} t^4) \ dt = 1 + \int\limits_0^x 2t \ dt \int\limits_0^x 2t^3 \ dt + \int\limits_0^x t^5 \ dt$

$= 1 + [t^2 + \frac{1}{2} t^4 + \frac{1}{6} t^6]_0^x = 1 + x^2 + \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{6} x^6$

Das Verfahren wird hier abgebrochen, da bereits eine Potenzreihe erkennbar ist.

Im folgenden wird gezeigt, wie die Fehlerabschätzung erfolgt und aus der ermittelten Polynomfunktion $y_3(x)$ eine approximierte Potenzreihe gebildet wird.