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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren

Kursangebot | Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen | Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren

Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren

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Eine Funktion, welche den Eindeutigkeitssatz erfüllt, und somit auch die Lipschitzbedingung mit Lipschitzkonstante L erfüllt, kann iterativ gelöst werden. Hierzu formt man das Anfangswertproblem in eine Integralgleichung um. 

Merke

 $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) dt $  mit  $y(x_0) = y_0$

Nach dieser Umformung ist es möglich die Integralgleichung iterativ zu lösen, womit man zum Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahren gelangt.

Methode

Man definiert:

$ y_1 (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_0)dt $

$ y_2 (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_1)dt $

...

$ y_{n+1} (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $.

Anwendungsbeispiel: Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf

Beispiel

Man Löse iterativ das Anfangswertproblem $\ y' = 2xy $ mit  $ y(0) := 1 $.  

Aus der Anfangsbedingung $y(0) = 1$ kann abgelesen werden: $x_0 = 0$ und $y_0 = 1$

$\ y_0 (x) \equiv 1 $

$\ y_1 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot 1 \ dt = 1 + [t^2] = 1 + x^2 - 0 = 1 + x^2 $

$\ y_2 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot (1 + t^2) dt = 1 + \int\limits_0^x  2t + 2t^3 \ dt$

$= 1 + 2 \int\limits_0^x t \ dt + 2\int\limits_0^x t^3 \ dt= 1 + 2 \cdot \frac{1}{2}t^2 + 2 \cdot \frac{1}{4} t^4$

$= [1 + t^2 + \frac{1}{2} t^4]_0^x = 1 + x^2 + \frac{1}{2} x^4$

$\ y_3 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t(1 + t^2 + \frac{1}{2} t^4) \ dt = 1 + \int\limits_0^x 2t \ dt \int\limits_0^x 2t^3 \ dt + \int\limits_0^x t^5 \ dt$

$= 1 + [t^2 + \frac{1}{2} t^4 + \frac{1}{6} t^6]_0^x = 1 + x^2 + \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{6} x^6$

Das Verfahren wird hier abgebrochen, da bereits eine Potenzreihe erkennbar ist.

Im folgenden wird gezeigt, wie die Fehlerabschätzung erfolgt und aus der ermittelten Polynomfunktion $y_3(x)$ eine approximierte Potenzreihe gebildet wird.

Video: Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren