ZU DEN KURSEN!

Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren

Kursangebot | Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen | Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren

Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren

ingenieurkurse JETZT WEITER LERNEN!

Weitere Lernvideos sowie zahlreiche Materialien erwarten dich:
Komplettpaket für Ingenieurstudenten


3108 Lerntexte mit den besten Erklärungen

494 weitere Lernvideos von unseren erfahrenen Dozenten

5120 Übungen zum Trainieren der Inhalte

8380 informative und einprägsame Abbildungen

Eine Funktion, welche den Eindeutigkeitssatz erfüllt, und somit auch die Lipschitzbedingung mit Lipschitzkonstante L erfüllt, kann iterativ gelöst werden. Hierzu formt man das Anfangswertproblem in eine Integralgleichung um. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

 $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) dt $  mit  $y(x_0) = y_0$

Nach dieser Umformung ist es möglich die Integralgleichung iterativ zu lösen, womit man zum Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahren gelangt.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Man definiert:

$ y_1 (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_0)dt $

$ y_2 (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_1)dt $

...

$ y_{n+1} (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $.

Anwendungsbeispiel: Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenMan Löse iterativ das Anfangswertproblem $\ y' = 2xy $ mit  $ y(0) := 1 $.  

Aus der Anfangsbedingung $y(0) = 1$ kann abgelesen werden: $x_0 = 0$ und $y_0 = 1$

$\ y_0 (x) \equiv 1 $

$\ y_1 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot 1 \ dt = 1 + [t^2] = 1 + x^2 - 0 = 1 + x^2 $

$\ y_2 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot (1 + t^2) dt = 1 + \int\limits_0^x  2t + 2t^3 \ dt$

$= 1 + 2 \int\limits_0^x t \ dt + 2\int\limits_0^x t^3 \ dt= 1 + 2 \cdot \frac{1}{2}t^2 + 2 \cdot \frac{1}{4} t^4$

$= [1 + t^2 + \frac{1}{2} t^4]_0^x = 1 + x^2 + \frac{1}{2} x^4$

$\ y_3 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t(1 + t^2 + \frac{1}{2} t^4) \ dt = 1 + \int\limits_0^x 2t \ dt \int\limits_0^x 2t^3 \ dt + \int\limits_0^x t^5 \ dt$

$= 1 + [t^2 + \frac{1}{2} t^4 + \frac{1}{6} t^6]_0^x = 1 + x^2 + \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{6} x^6$

Das Verfahren wird hier abgebrochen, da bereits eine Potenzreihe erkennbar ist.

Im folgenden wird gezeigt, wie die Fehlerabschätzung erfolgt und aus der ermittelten Polynomfunktion $y_3(x)$ eine approximierte Potenzreihe gebildet wird.