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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Integrierender Faktor

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Integrierender Faktor

Der Integrierende Faktor, auch Eulerscher Multiplikator genannt, kommt immer dann zum Einsatz, wenn eine Differentialgleichung nicht exakt ist. Er macht die Differentialgleichung exakt und erlaubt dadurch diese direkt zu integrieren. Der integrierende Faktor ist eine Funktion der Form $\mu(x,y) $.

Methode

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Vorgehensweise für die Bestimmung des integrierenden Faktors


Ausgangssituation: $\ p_y (x,y) \not= q_x (x,y) $

1. Ansatz um die Differentialgleichung exakt zu machen:

$ \mu(x,y) p(x,y)\ dx + \mu(x,y)q(x,y)\ dy = 0$

2. Die daraus resultierende Exaktheitsbedingung $ (\mu p)_y = (\mu q)_x $ liefert

$ \mu_y p + \mu p_y = \mu_x q + \mu q_x  \rightarrow \mu_y p - \mu_x p = \mu (q_x - p_y) $.

3. Spezialfälle

Es gilt zu klären ob $ \mu $ von $x$ oder $y$ abhängig ist.


Fall 1: $\mu $ hängt nur von $x$ ab.

Dann ist $\mu_y = 0$ und $ m := -\frac{q_x - p_y}{q} $ hängt nur von $ x$ ab.

Der integrierende Faktor ist in diesem Fall

$\mu(x) = \exp (\int m(x) \; dx)$.


Fall 2: $\mu $ hängt nur von $y$ ab.

Dann ist $\mu_x = 0$ und $ m := \frac{q_x - p_y}{p} $ hängt nur von $y$ ab.

Der integrierende Faktor ist nun

$\mu(y) = \exp (\int m(y) \; dy)$.

4. Gefundene(n) integrierende(n) Faktor(en) entsprechend in die Differentialgleichung einsetzen und 

5. auf Exaktheit anhand der Gleichung $ p_y (x,y) = q_x (x,y)  $ überprüfen.

$ $

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Löse die folgende Differentialgleichung

$\ xy^2 +xye^x + (2x^2 y+ xe^x)y´ = 0 $

1. Man sieht direkt, dass $\ p(x,y) = xy^2 + xye^x $ und $ q(x,y) = 2x^2 y + xe^x $ ist. 

2. Nun überprüft man ob Exaktheit vorliegt: $\ p_y = 2xy + xe^x \not= q_x = 4xy +(x+1)e^x $. Leider ist dies nicht der Fall und es gilt einen integrierenden Faktor zu bestimmen. 

3. Man prüft im nächsten Schritt ob $\mu $ nur von $x$ oder nur von $y$ abhängt. Die Reihenfolge der Überprüfung ist hierbei unerheblich.

3.1 Wir beginnen mit der Untersuchung ob $\mu $ nur von $y$ abhängt:

$ m= \frac{Q_x - P_y}{P} = \frac{4xy +(x+1)e^x - 2xy + xe^x}{xy^2 + xye^x} = \frac{2xy + e^x}{xy(y+e^x}$.

Es stellt sich heraus, dass sich $m$ nicht als allein von $y$ abhängender Ausdruck schreiben lässt.

$\rightarrow $ Es existiert kein nur von $y$ abhängender integrierender Faktor!

3.2 Als nächstes überprüfen wir ob $\mu$ nur von $x$ abhängt:

$ m= - \frac{Q_x - P_y}{Q} = - \frac{4xy +(x+1)e^x - 2xy + xe^x}{2x^2 y + xe^x} = - \frac{2xy +e^x}{x(2xy +e^x)} = - \frac{1}{x} $.

Nun stellt sich heraus, dass $m$ nur von $ x $ abhängt. Als integrierenden Faktor erhalten wir somit:

$\rightarrow \mu(x) = exp(\int - \frac{1}{x} dx) = exp(- ln|x|) = \frac{1}{|x|}$.

4. Abschließend setzen wir $\mu = \frac{1}{x}$ in die Differentialgleichung ein:

$ (y^2 + ye^x)dx + (2xy + e^x)dy = 0 $  |$\mu$ eingesetzt

5. Überprüfung auf Exaktheit durch $p_y = q_x$

$p_y = 2y + e^x$

$q_x = 2y + e^x $ 

Die Differentialgleichung ist nun exakt und kann nun nach dem Verfahren im vorherigen Abschnitt "Exakte Differentialgleichung" gelöst werden.