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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Exakte Differentialgleichung

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Exakte Differentialgleichung

Merke

Eine Exakte Differentialgleichung hat die Form

$p(x, y) + q(x,y) \frac{dy}{dx} = 0$  bzw.  $p(x, y) + q(x,y) y´ = 0$

mit $p(x,y) = M$  und  $q(x,y) = N$

Ist eine solche exakte Differentialgleichung gegeben, dann muss es zu jeder Lösung eine Konstante $c$ geben, so dass die implizite Gleichung

$F(x,y) = c$ erfüllt ist.

Ihre Stammfunktion $F(x,y)$ ist eine stetig differenzierbare Funktion für die gilt

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = p(x,y)$

und

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = q(x,y)$

Ist eine solche Funktion gegeben, dann wird diese zunächst auf Exaktheit überprüft:

$M_y = N_x$

Das bedeutet jetzt also, dass $M$ nach $y$ abgeleitet wird, und $N$ nach $x$ abgeleitet wird. Es müssen sich dann zwei identische Funktionen ergeben.

Wenn die Exaktheitsbedingung stimmt, dann gibt es Potential $\psi$, so dass

$\psi_x = M$   und   $\psi_y = N$

mit

$\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y)$   |mit $I(y)$ als Integrationskonstante, die von $y$ abhängig ist.

Anwendungsbeispiel: Exakte Differentialgleichung

Beispiel

Löse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$

$p(x,y) = M = 2x + 5$

$q(x,y) = N = 2y + 5$

1.) Auf Exaktheit überprüfen:

$M_y = 0$

$N_x = 0$

Da, $M_y = N_x$ ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein $\psi_x = M, \; \psi_y = N$.

2.) Integration

$\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y) = \int (2x + 5) dx + I(y)$

$\psi (x,y) = x^2 + 5x + I(y)$

3.) Bestimmung der Integrationskonstanten

Um die Integrationskonstante zu bestimmen, wird nun $\psi_y = N$ verwendet. Dazu wird $\psi (x,y)$ nach $y$ abgeleitet und mit $N$ gleichgesetzt:

$\psi_y = I´(y)$   |Ableitung von $\psi (x,y)$ nach $y$.

$I´(y) = 2y + 5$

Durch Integration erhalten wir dann $I(y)$:

$I(y) = \int (2y + 5) \; dy = y^2 + 5y + c$     |$c$ ist Integrationskonstante

4.) Einsetzen und Lösen

Einsetzen von $I(y)$ in $\psi (x,y)$:

$\psi (x,y) = const = x^2 + 5x + y^2 + 5y + c $

$ x^2 + 5x + y^2 + 5y  = c$

Beispiel

Löse die Differentialgleichung $y \; \cos (x) + 2xe^y + (\sin (x) + x^2e^y - 1) y´= 0$

$p(x,y) = M = y \; \cos (x) + 2xe^y$

$q(x,y) = N = \sin (x) + x^2e^y - 1$

1.) Überprüfung auf Exaktheit

$M_y = \cos (x) + 2xe^y$

$N_x = \cos (x) + 2xe^y $

Das bedeutet, dass die Exaktheitsbedingung erfüllt ist, da beide Ableitungen das selber Ergebnis liefern. Es existiert also ein $\psi_x = M$ und $\psi_y = N$.

2.) Integration

$\psi (x,y) =  \int  (y \; \cos (x) + 2xe^y) \; dx + I(y)$   | mit $I(y)$ als Integrationskonstante die von $y$ abhängig ist.

$\psi (x,y) = y \; \sin (x) + x^2 e^y + I(y)$

3.) Bestimmung der Integrationskonstante

Um die Integrationskonstante zu bestimmen, wird nun $\psi_y = N$ verwendet. Dazu wird $\psi (x,y)$ nach $y$ abgeleitet, mit $N$ gleichgesetzt und nach $I´(y)$ aufgelöst:

$\psi_y (x,y) = \sin (x) + x^2 e^y + I´(y)$ 

Gleichsetzen:  $\sin (x) + x^2 e^y + I´(y) =  \sin (x) + x^2e^y - 1$

$I´(y) = -1$

Durch Integration erhalten wir dann $I(y)$:

$I(y) = \int -1 \; dy = -y + c$

4.) Einsetzen und Lösen

$\psi (x,y) = y \; \sin (x) + x^2 e^y - y  = c$   |wird konstant gesetzt, weil es die Konstante ist, die in der Kurvengleichung vorkommt.