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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Bernoulli Differentialgleichung

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Bernoulli Differentialgleichung

Den Anfang macht die Bernoulli DifferentialGleichung, welche die Form

Methode

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$ y' + a(x)y = r(x) y^{\alpha}$               Bernoulli Differentialgleichung

mit

$\alpha \in \mathbb{R}, \alpha \not= 0, 1 $

besitzt.

Diese Differentialgleichung wird in einem nächsten Schritt durch $y^{\alpha}$ geteilt bzw. mit $y^{-\alpha}$ multipliziert. Dies führt zu der Form:

Methode

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$y^{-\alpha} \cdot y' + a(x) y^{ 1 - \alpha} = r(x)$

Substitution

Durch Substitution lässt sich diese Differentialgleichung in eine lineare Differentialgleichung überführen.

Man substituiert hierzu:

Methode

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$ u = y^{1-\alpha}$ und daraus $u' = (1 - \alpha) y^{-\alpha} y'$  bzw.   $y^{-\alpha} \cdot y' = \frac{1}{1 - \alpha} \cdot u'$

Durch Einsetzen dieser Transformationen in die Bernoulli Differentialgleichung erhält man eine lineare parametrisierte inhomogene Differentialgleichung. 

Methode

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$\frac{1}{1 - \alpha} u' + a(x) \cdot u = r(x)$

Anschließend Löst man die Gleichung und substituiert $ u = y^{1-\alpha} $ zurück.

Anwendungsbeispiel: Bernoulli Differentialgleichung

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Löse die folgende Differentialgleichung $y' + \frac{y}{x} - x^2 \sqrt[3]{y} = 0 $. 

1. Man formt zuerst um und erhält mit

$y' + \frac{1}{x}y = x^2 y^{\frac{1}{3}} $ mit $ \alpha = \frac{1}{3} $  eine Bernoulli Differentialgleichung.

2. Als nächstes multipliziert man die Gleichung mit $y^{-\frac{1}{3}}$ und erhält:

Methode

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$y^{-\frac{1}{3}} \cdot y' + \frac{1}{x} y^{\frac{2}{3}} = x^2$

3. Nun Substituiert man

$ u = y^{1 - \frac{1}{3}} = y^{\frac{2}{3}}$

$u' = \frac{2}{3} \cdot y^{-\frac{1}{3}} \cdot y'$

$y^{-\frac{1}{3}} \cdot y' = \frac{3}{2} u'$

4. Diese setzt man in die Differentialgleichung in 2. ein und erhält:

$\frac{3}{2} u' + \frac{1}{x} \cdot u = x^2$

Das Ganze wird jetzt noch durch $\frac{3}{2}$ geteilt bzw. mit $\frac{2}{3}$ multipliziert, damit $u'$ alleine steht:

Methode

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$ u' + \frac{2}{3} \frac{1}{x} \cdot u = \frac{2}{3} x^2 $

Es handelt sich hierbei um eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung.

5. Die zugehörige Lösungsformel (siehe Abschnitt: Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung) ist für

$u´+ a(x) u = r(x)$:

$u = e^{-A(x)} \cdot \int r(x) \cdot e^{A(x)} \; dx$   mit  $A(x) = \int a(x)$


In diesem Beispiel ist:

$a(x) = \frac{2}{3} \frac{1}{x} $

$r(x) =  \frac{2}{3} x^2$

$A(x) = \int a(x) = \int \frac{2}{3} \frac{1}{x} \; dx = \frac{2}{3} \int \frac{1}{x} \; dx = \frac{2}{3} ln(x)$

$ u = e^{-\frac{2}{3}ln(x)} [\int \frac{2}{3} x^2 \cdot e^{\frac{2}{3}ln(x)} \; dx] $                              [ $e^{ln(x)} = x$]

$ u  = x^{-\frac{2}{3}} [ \int \frac{2}{3} x^2 \cdot x^{\frac{2}{3}} \; dx] $

$ u  = x^{-\frac{2}{3}} [ \int \frac{2}{3} x^{\frac{8}{3}} dx] $                                                          [Integral auflösen]

$ u  =x^{-\frac{2}{3}} [\frac{2}{11} x^{\frac{11}{3}} + c] $

$ u  =cx^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{11} x^3 $.

6. Nun fehlt nur noch die Rücksubstitution von  $ u = y^{\frac{2}{3}} \rightarrow y = u^{\frac{3}{2}}$ und man erhält als Lösung:

$y^{\frac{2}{3}} = [cx^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{11} x^3]$

Methode

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$y = [cx^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{11} x^3]^{\frac{3}{2}}$.

Mit der obigen Gleichung ist die Überführung einer Bernoulli-Differentialgleichung in eine lineare Differentialgleichung abgeschlossen.