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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Ricatti Differentialgleichung

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Ricatti Differentialgleichung

Die Riccati Differentialgleichung besitzt die Form

$\ y' + a(x)y + b(x)y^2 = c(x) $. 

Hierbei ist ein generelles Lösungsverfahren nicht bekannt. Hat man es jedoch geschafft eine spezielle Lösung für $ y_1 $ zu ermitteln. Lässt sich auch diese Differentialgleichung durch Substitution in eine lineare Differentialgleichung in $ u $ überführen. 

Substitution

Man substituiert zuerst $ u = \frac{1}{y-y_1} $. Aus dieser Substitution erhält man für $ y $ 

$\rightarrow y  = \frac{1}{u} + y_1 $, 

Für $ y' $ erhält man

$\rightarrow y' = - \frac{1}{u^2} u' + y'_1 $

Hieraus folgt

$\rightarrow -\frac{1}{u^2} u' + y'_1 + a(x) [\frac{1}{u} + y_1] + b(x) [\frac{1}{u^2} + \frac{2y_1}{u} + y^2_1] = c(x)$. 

Wegen $\ y_1 + a(x)y_1 + b(x)y^2_1 = c(x) $ folgt anschließend

$ - \frac{u'}{u^2} + a(x)\frac{1}{u} + b(x) [\frac{1}{u^2} + \frac{2y_1}{u}] = 0 $

Die Multiplikation mit $\ -u^2 $ liefert letztlich mit

$\ u' - [a(x) + 2y_1 b(x)] u = b(x) $

eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Diese gilt es zu Lösen und zu Rücksubstituieren. 

Auch hier soll ein Beispiel helfen den Transformationsprozess besser zu verstehen.

Anwendungsbeispiel: Ricatti Differentialgleichung

Beispiel

Löse folgende Differentialgleichung $ \ y' + \frac{2}{x}y + y^2 = \frac{2}{x^2}$

Davon ausgehend, dass mit $ y_1 = \frac{1}{x} $ durch Einsetzen eine spezielle Lösung gefunden wurde, kann die Riccati-Differentialgleichung transformiert werden.

1. Als Substitution erhält man $ u = \frac{1}{y-\frac{1}{x}} $

Daraus folgt: $\ y = \frac{1}{u} + \frac{1}{x} $ und $ y' = - \frac{u'}{u^2} - \frac{1}{x^2} $ 

2. Einsetzen in die Riccati Differentialgleichung ergibt 

$ -\frac{u'}{u^2} -\frac{1}{x^2}+ \frac{2}{x} [\frac{1}{u} + \frac{1}{x}] + \frac{1}{u}+ \frac{2}{ux} +\frac{1}{x^2} = \frac{2}{x^2} $ [Zusammenfassen]

$\rightarrow -\frac{u'}{u^2} + \frac{2}{x}\frac{1}{u} + \frac{1}{u^2} + \frac{2}{xu} = 0$ 

3. Multiplizieren mit $\ -u^2 $ liefert

$\rightarrow u' - \frac{4}{x}u = 1$.

4. Nun kann [wie bereits bei der Bernoulli Differentialgleichung verwendet] die Lösungsformel für inhomogene lineare Differentialgleichung angewandt werden.  

$\ u = e^{4 \int \frac{dx}{x}} [\int e^{4 \int \frac{dx}{x}} dx + c] $

$     = x^4 [\int x^{-4} dx + c] $ [Integral auflösen]

$     = x^4 [-\frac{1}{3} x^{-3} + c] $

$     = cx^4 - \frac{1}{3} x$. 

5. Die abschließende Rücksubstitution von $ y = \frac{1}{u} + \frac{1}{x} $ liefert die Lösung:

$\ y = \frac{1}{cx^4 -\frac{1}{3}x} + \frac{1}{x}$. 

Merke

Die Riccati Differentialgleichung hat die Besonderheit, dass sie eng mit der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung zusammenhängt. Diese wird in einem der folgenden Abschnitte näher erläutert.