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Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen:

Ricatti Differentialgleichung

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Die Riccati Differentialgleichung besitzt die Form

$\ y' + a(x)y + b(x)y^2 = c(x) $. 

Hierbei ist ein generelles Lösungsverfahren nicht bekannt. Hat man es jedoch geschafft eine spezielle Lösung für $ y_1 $ zu ermitteln. Lässt sich auch diese Differentialgleichung durch Substitution in eine lineare Differentialgleichung in $ u $ überführen. 

Substitution

Man substituiert zuerst $ u = \frac{1}{y-y_1} $. Aus dieser Substitution erhält man für $ y $ 

$\rightarrow y  = \frac{1}{u} + y_1 $, 

Für $ y' $ erhält man

$\rightarrow y' = - \frac{1}{u^2} u' + y'_1 $

Hieraus folgt

$\rightarrow -\frac{1}{u^2} u' + y'_1 + a(x) [\frac{1}{u} + y_1] + b(x) [\frac{1}{u^2} + \frac{2y_1}{u} + y^2_1] = c(x)$. 

Wegen $\ y_1 + a(x)y_1 + b(x)y^2_1 = c(x) $ folgt anschließend

$ - \frac{u'}{u^2} + a(x)\frac{1}{u} + b(x) [\frac{1}{u^2} + \frac{2y_1}{u}] = 0 $

Die Multiplikation mit $\ -u^2 $ liefert letztlich mit

$\ u' - [a(x) + 2y_1 b(x)] u = b(x) $

eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Diese gilt es zu Lösen und zu Rücksubstituieren. 

Auch hier soll ein Beispiel helfen den Transformationsprozess besser zu verstehen.

Anwendungsbeispiel: Ricatti Differentialgleichung

Beispiel

Löse folgende Differentialgleichung $ \ y' + \frac{2}{x}y + y^2 = \frac{2}{x^2}$

Davon ausgehend, dass mit $ y_1 = \frac{1}{x} $ durch Einsetzen eine spezielle Lösung gefunden wurde, kann die Riccati-Differentialgleichung transformiert werden.

1. Als Substitution erhält man $ u = \frac{1}{y-\frac{1}{x}} $

Daraus folgt: $\ y = \frac{1}{u} + \frac{1}{x} $ und $ y' = - \frac{u'}{u^2} - \frac{1}{x^2} $ 

2. Einsetzen in die Riccati Differentialgleichung ergibt 

$ -\frac{u'}{u^2} -\frac{1}{x^2}+ \frac{2}{x} [\frac{1}{u} + \frac{1}{x}] + \frac{1}{u}+ \frac{2}{ux} +\frac{1}{x^2} = \frac{2}{x^2} $ [Zusammenfassen]

$\rightarrow -\frac{u'}{u^2} + \frac{2}{x}\frac{1}{u} + \frac{1}{u^2} + \frac{2}{xu} = 0$ 

3. Multiplizieren mit $\ -u^2 $ liefert

$\rightarrow u' - \frac{4}{x}u = 1$.

4. Nun kann [wie bereits bei der Bernoulli Differentialgleichung verwendet] die Lösungsformel für inhomogene lineare Differentialgleichung angewandt werden.  

$\ u = e^{4 \int \frac{dx}{x}} [\int e^{4 \int \frac{dx}{x}} dx + c] $

$     = x^4 [\int x^{-4} dx + c] $ [Integral auflösen]

$     = x^4 [-\frac{1}{3} x^{-3} + c] $

$     = cx^4 - \frac{1}{3} x$. 

5. Die abschließende Rücksubstitution von $ y = \frac{1}{u} + \frac{1}{x} $ liefert die Lösung:

$\ y = \frac{1}{cx^4 -\frac{1}{3}x} + \frac{1}{x}$. 

Merke

Die Riccati Differentialgleichung hat die Besonderheit, dass sie eng mit der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung zusammenhängt. Diese wird in einem der folgenden Abschnitte näher erläutert. 
Bild von Autor Jan Morthorst

Autor: Jan Morthorst

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