Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration

Mit Hilfe der bisherigen Zusammenhänge von Biegemoment, Querkraft und Streckenlast lassen sich die Schnittgrößen auch aus der Belastung $ q $ ermitteln. Dies ist durch Integration unter Verwendung von Integrationskonstanten möglich. 

Die formale Schreibweise ist hierbei:

Die derzeit noch unbekannten Integrationskonstanten $ C_1 $ und $ C_2 $ können mit Hilfe der Randbedingungen ermittelt werden. Diese treffen Aussagen bezüglich der Größen von Biegemoment und Querkraft an den Rändern eines Balkens.

Im Folgenden soll anhand eines Beispiels die Integration und die Bestimmung der Randbedingungen anhand eines Balkens auf welchen eine konstante Streckenlast wirkt, dargestellt werden. Es werden dann die Integrationskonstanten bestimmt und zuletzt die Querkraft sowie das Biegemoment.

Konstante Streckenlast

Integration

Aus der betrachteten Abbildung ergibt sich, dass die abgebildete Streckenlast überall gleich groß ist. Das bedeutet also, dass diese konstant ist. Daraus folgt $ q = q_0 =$ konstant:

$ Q = - \int q_0 \; dx + C_1 $

$\rightarrow Q = -q_0 \; x + C_1$.

$M = \int Q \; dx + C_2 = \int (-q_0 \; x + C_1) + C_2$

$\rightarrow  M = - \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 + C_1 x + C_2 $ .

Randbedingungen

Aus der unten stehenden Tabelle kann entnommen werden, welche Schnittgrößen an den Rändern den Wert Null annehmen für die unterschiedlichen Lagerungen. Wichtig ist, dass nur die Aussage $=0$ für die Randbedingungen verwendet werden kann (nicht $\neq 0$).

Randbedingungen für unterschiedliche Lagerungen

Es werden im Folgenden unterschiedliche Lagerungen $A$ und $B$ (siehe Grafik) betrachtet und für diese die Randbedingungen bestimmt.

Randbedingungen für Festlager und Loslager

$A$ = Festlager, $B$ = Loslager:

Wie der Tabelle zu entnehmen ist, ist bei beiden Lagerungen $M(x) = 0$ und kann deshalb für die Randbedingungen verwendet werden. Für das Lager $A$ gilt also für $x = 0$ (Lager A befindet sich bei x = 0):

$ M(x = 0) = 0 $ [An der Stelle $ 0$ ist das Biegemoment auch null]

Für das Lager $B$ an der Stelle $l$ gilt dann:

$ M(x = l) = 0 $ [An der Stelle $l$ ist das Biegemoment ebenfalls null].

Randbedingungen für Parallelführung und Loslager

$A$ = Parallelführung, $B$ = Loslager

Wie der Tabelle zu entnehmen ist, ist bei der Parallelführung $Q(x) = 0$ und beim Loslager $M(x) = 0$. Diese können für die Randbedingungen verwendet werden.

Für das Lager $A$ gilt also für $x = 0$:

$Q(0) = 0$.

Für das Lager $B$ gilt für $x = l$:

$M(l) = 0$.

Integrationskonstanten

Aus den obigen Randbedingungen können nun die Integrationskonstanten bestimmt werden, indem die $x$-Werte in die Schnittgrößen eingesetzt werden, welche den Wert Null annehmen.

Integrationskonstanten für Festlager und Loslager

Lager $A$ (Festlager):

$ M(x = 0) = 0 $

$M(0) = - \frac{1}{2} q_0 \cdot 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2 = 0$

$C_2 = 0$.

Lager $B$ (Loslager):

$M(x = l) = 0$

$M(l) = - \frac{1}{2} q_0 \cdot l^2 + C_1 \cdot l + C_2 = 0$        | $C_2 = 0$

$M(l) = - \frac{1}{2} q_0 \cdot l^2 + C_1 \cdot l + 0 = 0$

$C_1 = \frac{1}{2} q_0 \; l$

Integrationskonstanten für Parallelführung und Loslager

Lager $A$ (Parallelführung):

$Q(x = 0) = 0$

$Q(0) =  -q_0 \cdot 0 + C_1$

$C_1 = 0$

Lager $B$ (Loslager):

$M(x = l) = 0$

$M(l) = - \frac{1}{2} q_0 \cdot l^2 + C_1 \cdot l + C_2 = 0$             |$C_1 = 0$

$C_2 = \frac{1}{2} q_0 \cdot l^2$.

Schnittgrößen: Biegemoment und Querkraft 

Die Integrationskonstanten sind nun also bekannt und es können die Schnittgrößen nun wie folgt bestimmt werden.

Festlager und Loslager:

$Q = -q_0 \cdot x + \frac{1}{2} q_0 \; l$

$M = - \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 + \frac{1}{2} q_0 \; l \; x $.

Parallelführung und Loslager:

$Q = -q_0 \cdot x $

$M = - \frac{1}{2} q_0 \cdot x^2 + \frac{1}{2} q_0 \cdot l^2$.

Lagerreaktionen

Bei der Bestimmung von Biegemoment und Querkraft müssen in diesem Fall die Lagerreaktionen nicht ermittelt werden. Diese können aus den Ergebnissen abgelesen werden. 

Lagerreaktionen: Festlager und Loslager

Für die Berechnung der Lagerraktionen werden die Schnittgrößen für den Balken mit Festlager und Loslager herangezogen:

Für das Lager $A$ gilt, dass es keine Momente überträgt, sondern nur horizontale und vertikale Kräfte. Da in der obigen Grafik keine horizontalen Kräfte wirken, wird $A_h$ schon einmal null. Das Lager $A$ liegt bei $x = 0$, demnach kann $A_v$ kann aus der Querkraft im Punkt $x = 0$ berechnet werden, da diese dort ebenfalls nach oben gerichtet ist, gilt:

$ A = Q(x =0) = C_1 = \frac{1}{2} q_o \cdot l $

Für das Lager $B$ gilt, dass es nur vertikale Kräfte übertragen kann. Das Lager $B$ liegt bei $x = l$, damit kann $B$ kann aus der Querkraft im Punkt $x = l$ berechnet werden. Da die Querkraft hier allerdings nach unten gerichtet ist (und $B$ nach oben), muss noch ein negatives Vorzeichen berücksichtigt werden:

$ B = - Q(x = l) = \frac{1}{2} q_0 \cdot l $.

Lagerreaktionen: Parallelführung und Loslager

Für die Berechnung der Lagerraktionen werden die Schnittgrößen für den Balken mit Parallelführung und Loslager herangezogen:

Für das Lager $A$ (Parallelführung) gilt, dass es zwei Lagerreaktionen übertragen kann. Zum einen ein Moment und zum anderen eine horizontale Kraft. Da sonst keine horizontalen Kräfte auf den Balken wirken, wird die horizontale Auflagerkraft der Parallelführung gleich Null. Das Moment muss also im Punkt $x = 0$ (weil dort das Lager liegt) berechnet werden:

$M_A = M(x = 0) =  \frac{1}{2} q_0 \cdot l^2$

Für das Lager $B$ (Loslager) gilt die Übertragung einer vertikalen Kraft. Das Lager $B$ liegt bei $x = l$. Da die Querkraft hier nach unten gerichtet ist (und $B$ nach oben) gilt:

$B = -Q(x = l) =  q_0 \cdot l $.

Jetzt sind alle unbekannten Kräfte bestimmt. 

Es ist natürlich auch möglich die Schnittgrößen bei verteilten Lasten durch die Gleichgewichtsbedingungen zu berechnen. Es ist in jedem Fall unbedingt auf die Aufgabenstellung zu achten, ob die Berechnung durch Integration (also das hier vorgestellte Verfahren) verlangt wird. Ist dies nicht der Fall, können die Schnittgrößen wie im nächsten Abschnitt berechnet werden.