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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Evolute

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Evolute

Im vorherigen Abschnitt wurde der Krümmungskreis und sein Krümmungsmittelpunkt vorgestellt. Die Evolute einer ebenen Kurve ist die Bahn auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises bewegt, wenn ein Punkt auf der Kurve entlang wandert. 

Merke

Die Kurve aller Mittelpunkte der Krümmungskreise einer gegebenen Kurve nennt man Evolute.


Formal: $\vec{x}_M = \vec{x} + \frac{1}{\kappa} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$. 

Die Tangenten der Evolute sind gleichzeitig die Normalen der gegebenen Kurve.

Berechnung der Evolute

Beispiel

Gegeben sei die Parabel: $f(x) = 0,5x^2$.

Für verschiedene Punkte auf der Kurve kann die Evolute berechnet werden.

Nachfolgend werden einige Punkte auf der Kurve ausgewählt und anhand dieser wird die Evolute berechnet:

$A(-2, \ 2), \ B(-1, \ 0,5), \ C( 0, \ 0), \ D(1, \ 0,5), \ E(2, \ 2)$

Zur Berechnung werden benötigt: $\kappa$ und $\vec{n}$

$\kappa (x) =  \frac{f´´(x)}{(1 + (f´(x))^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\vec{n} = (-f´(x), 1) = (-(x), 1)$

$|\vec{n} | = \frac{1}{\sqrt{(-f´(x))^2 + 1^2}}$

1. Punkt auf der Kurve

$A(-2, \ 2)$

$\kappa (x) =  \frac{1}{(1 + (-2)^2)^{\frac{3}{2}}} = 0,09$

$\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (2, \ 1)$

$\vec{x}_M = (-2, \ 2) + \frac{1}{0,09} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \begin{pmatrix} 7,9 \\ 6,97 \end{pmatrix}$.

2. Punkt auf der Kurve

$B(-1, \ 0,5)$

$\kappa (x) =  \frac{1}{(1 + (-1)^2)^{\frac{3}{2}}} = 0,35$

$\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (1, \ 1)$

$\vec{x}_M = (-1, \ 0,5) + \frac{1}{0,35} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \begin{pmatrix} 1,02 \\ 2,52 \end{pmatrix}$.

3. Punkt auf der Kurve

$C(0, \ 0)$

$\kappa (x) =  \frac{1}{(1 + (0)^2)^{\frac{3}{2}}} = 1$

$\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (0, \ 1)$

$\vec{x}_M = (0, \ 0) + \frac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

4. Punkt auf der Kurve

$D(1, \ 0,5)$

$\kappa (x) =  \frac{1}{(1 + (1)^2)^{\frac{3}{2}}} = 0,35$

$\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (-1, \ 1)$

$\vec{x}_M = (1, \ 0,5) + \frac{1}{0,35} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}} = \begin{pmatrix} -1,02 \\ 2,52 \end{pmatrix}$.

5. Punkt auf der Kurve

$E(2, \ 2)$

$\kappa (x) =  \frac{1}{(1 + (2)^2)^{\frac{3}{2}}} = 0,09$

$\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (-2, \ 1)$

$\vec{x}_M = (2, \ 2) + \frac{1}{0,09} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = \begin{pmatrix} -7,9 \\ 6,97 \end{pmatrix}$.

Grafische Veranschaulichung

Evolute
Evolute

Die Evolute ist die Verbindung der Krümmungskreismittelpunkte (rot). Die Kreise wurden zur besseren Veranschaulichung nicht eingezeichnet. Es ist deutlich zu erkennen, dass der Krümmungskreismittelpunkt $M_E$ ziemlich weit entfernt von seinem Punkt $E$ liegt. Dies liegt daran, dass die Krümmung im Punkt $E$ gering ist und demnach der Kreis sehr groß wird. Im Gegensatz dazu, liegt der Krümmungskreismittelpunkt $M_C$ nahe an seinem Punkt $C$, da hier die Krümmung sehr stark ist und folglich der Kreis sehr klein. Die Evolute in diesem Beispiel ist aufgrund der geringen Anzahl von Punkten nicht optimal dargestellt. Je mehr Krümmungskreismittelpunkte einbezogen werden, desto genauer ist die Form der Evolute.

In der folgenden Grafik sind die Krümmungskreise mit eingezeichnet:

Evolute und Krümmungskreise
Evolute und Krümmungskreise