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Evolute

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Im vorherigen Abschnitt wurde der Krümmungskreis und sein Krümmungsmittelpunkt vorgestellt. Die Evolute einer ebenen Kurve ist die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises bewegt, wenn ein Punkt auf der Kurve entlang wandert. 

Merke

Die Kurve aller  Mittelpunkte der Krümmungskreise einer gegebenen Kurve nennt man Evolute.


Formal: $\vec{x}_M = \vec{x} + \frac{1}{\kappa} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$. 

Die Tangenten der Evolute sind gleichzeitig die Normalen der gegebenen Kurve.

Berechnung der Evolute

Beispiel

Gegeben sei die Parabel: $f(x) = 0,5x^2$.

Für verschiedene Punkte auf der Kurve kann die Evolute berechnet werden.

Im folgenden werden einige Punkte auf der Kurve ausgewählt und anhand dieser die Evolute berechnet:

$A(-2, \ 2), \ B(-1, \ 0,5), \ C( 0, \ 0), \ D(1, \ 0,5), \ E(2, \ 2)$

Zur Berechnung werden benötigt: $\kappa$ und $\vec{n}$

$\kappa (x) =  \frac{f´´(x)}{(1 + (f´(x))^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\vec{n} = (-f´(x), 1) = (-(x), 1)$

$|\vec{n} | = \frac{1}{\sqrt{(-f´(x))^2 + 1^2}}$

1. Punkt auf der Kurve

$A(-2, \ 2)$

$\kappa (x) =  \frac{1}{(1 + (-2)^2)^{\frac{3}{2}}} = 0,09$

$\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (2, \ 1)$

$\vec{x}_M = (-2, \ 2) + \frac{1}{0,09} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \begin{pmatrix} 7,9 \\ 6,97 \end{pmatrix}$.

2. Punkt auf der Kurve

$B(-1, \ 0,5)$

$\kappa (x) =  \frac{1}{(1 + (-1)^2)^{\frac{3}{2}}} = 0,35$

$\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (1, \ 1)$

$\vec{x}_M = (-1, \ 0,5) + \frac{1}{0,35} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \begin{pmatrix} 1,02 \\ 2,52 \end{pmatrix}$.

3. Punkt auf der Kurve

$C(0, \ 0)$

$\kappa (x) =  \frac{1}{(1 + (0)^2)^{\frac{3}{2}}} = 1$

$\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (0, \ 1)$

$\vec{x}_M = (0, \ 0) + \frac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

4. Punkt auf der Kurve

$D(1, \ 0,5)$

$\kappa (x) =  \frac{1}{(1 + (1)^2)^{\frac{3}{2}}} = 0,35$

$\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (-1, \ 1)$

$\vec{x}_M = (1, \ 0,5) + \frac{1}{0,35} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}} = \begin{pmatrix} -1,02 \\ 2,52 \end{pmatrix}$.

5. Punkt auf der Kurve

$E(2, \ 2)$

$\kappa (x) =  \frac{1}{(1 + (2)^2)^{\frac{3}{2}}} = 0,09$

$\vec{n} = (-f´(x), \ 1) = (-(x), \ 1) = (-2, \ 1)$

$\vec{x}_M = (2, \ 2) + \frac{1}{0,09} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = \begin{pmatrix} -7,9 \\ 6,97 \end{pmatrix}$.

Grafische Veranschaulichung

Evolute
Evolute

Die Evolute ist die Verbindung der Krümmungskreismittelpunkte (rot). Die Kreise wurden zur besseren Veranschaulichung nicht eingezeichnet. Es ist deutlich zu erkennen, dass der Krümmungskreismittelpunkt $M_E$ ziemlich weit entfernt von seinem Punkt $E$ liegt. Dies liegt daran, dass die Krümmung im Punkt $E$ gering ist und demnach der Kreis sehr groß wird. Im Gegensatz dazu liegt der Krümmungskreismittelpunkt $M_C$ nahe an seinem Punkt $C$, da hier die Krümmung sehr stark ist und demnach der Kreis sehr klein. Die Evolute in diesem Beispiel ist aufgrund der geringen Anzahl von Punkten nicht optimal dargestellt. Je mehr Krümmungskreismittelpunkte berücksichtigt werden, desto genauer ist die Form der Evolute.

In der folgenden Grafik sind die Krümmungskreise mit eingezeichnet:

Evolute und Krümmungskreise
Evolute und Krümmungskreise
Multiple-Choice
Welche Aussagen zur Evolute sind richtig?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Jan Morthorst

Autor: Jan Morthorst

Dieses Dokument Evolute ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche DifferentialgleichungenHöhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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