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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Begleitendes Dreibein und Schmiegebene

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Begleitendes Dreibein und Schmiegebene

Der Tangenteneinheitsvektor  $\vec{t}_e (t)$, der Hauptnormalenvektor  $\vec{n}(t)$  und der Binormalenvektor  $\vec{b}(t)$  bilden zusammen

$\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$,

die Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3 $. Man nennt dieses Vektorentripel das begleitende Dreibein der Kurve an der vorgegebenen Parameterstelle $\ t$. 

Die drei Ebenen des begleitenden Dreibeins

Durch das begleitende Dreibein werden für die Kurve $\vec{r}(t)$ im Kurvenpunkt  $\vec{x}_0 = \vec{x_0}(t)$ drei Ebenen definiert:

Die Normalebene, welche durch den Hauptnormalenvektor $\vec{n}(t)$ und dem Binormalenvektor $\vec{b} (t)$ aufgespannt wird:

$E_N = \vec{t}_e (t) \cdot (\vec{r} (t) - \vec{x}_0) = 0$

Die rektifizierbare Ebene, welche durch den Tangenteneinheitsvektor  $\vec{t}_e (t)$  und dem Binormalenvektor $\vec{b}(t)$   aufgespannt wird:

$E_R = \vec{n} (t) \cdot (\vec{r} (t) - \vec{x}_0) = 0$

Die Schmiegeebene, welche durch den Tangenteneinheitsvektor  $\vec{t}_e (t)$  und dem Hauptnormalenvektor $\vec{n}(t)$   aufgespannt wird:

$E_R = \vec{b} (t) \cdot (\vec{r} (t) - \vec{x}_0) = 0$

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne das begleitende Dreibein  $\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$  für  $t = 0$.

Ableitungen bilden:

$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \; (0, 1, 1)$

$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \; (-1, 0, 0)$

Vektorprodukt und Länge berechnen für t = 0:

$\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t) = (0, -1, 1)$

$(\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)) \; \text{X} \; \dot{\alpha} (t)  = (-2, 0, 0)$

$|(\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)) \; \text{X} \; \dot{\alpha} (t) | = \sqrt{(-2)^2} = 2$

Vektoren berechnen

$\vec{t}_e (t) = (0, 1, 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$\vec{n} (t) = (-2, 0, 0) \cdot \frac{1}{2} =  \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{b} (t) = (0, -1, 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

Diese drei Vektoren für $t = 0$ stellen das begleitende Dreibein dar. Die Vektoren stehen senkrecht zueinander und haben alle die Länge $1$.

Zusammenfassende Formeln

Folgende Formeln zu Berechnung des Tangenteneinheitsvektors, Hauptnormalenvektors und Binormalenvektors sollten bekannt sein:

Vektoren Formel
Tangenteneinheitsvektor    $\vec{t}_e (t) = \frac{\dot{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}} (t)|}$
Binormalenvektor $\vec{b} (t) = \frac{\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}} (t)}{|\dot{\vec{r}} (t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}} (t)|}$
Hauptnormalenvektor $\vec{n} (t) = \frac{(\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}} (t)) \; \text{X} \; \dot{\vec{r}} (t)}{|(\dot{\vec{r}} (t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}} (t)) \; \text{X} \; \dot{\vec{r}} (t)|}$


wobei $\vec{r}(t)$ die Raumkurve darstellt, der Punkt über dem Vektor die 1. und 2. Ableitung und die Betragsstriche die Länge mit $|\vec{r}(t)| = \sqrt{x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2}$.