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Der Hauptnormalenvektor ist derjenige Vektor, der senkrecht zur Tangente steht. Er besitzt die Länge $1$ und wird in Parameterdarstellung $t$ berechnet durch:
$\vec{n}(t) = \frac{(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)}{|(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)|}$
Dabei stellt X das Kreuzprodukt dar und die Betragsstriche die Länge.
In Darstellung über die Bogenlänge $s$ wird dieser berechnet:
$\vec{n}(s) = \frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|}$
Hauptnormalenvektor aus Tangenteneinheitsvektor
Man kann den Hauptnormalenvektor auch aus dem Tangenteneinheitsvektor berechnen. Und zwar indem man den Tangenteneinheitsvektor ableitet und dann den entstehenden Vektor durch seine Länge teilt:
$\vec{n}(t) = \frac{{\dot{\vec{t}}_e (t)}}{{| \dot{\vec{t}}_e (t)|}}$
Anwendungsbeispiel
Beispiel
Gegeben sei die Kurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$.
Die Kurve $\alpha (t)$ ist in Parameterdarstellung gegeben. Der dazugehörige Hauptnormalenvektor wird wie folgt ermittelt:
Ableitungen bilden
$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$
$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$
Kreuzprodukt des Zählers bilden
1.) $\dot{\alpha}(t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha}(t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \text{X} \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} \sin (t) \\ -\cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$
Merke
Erinnerung: Kreuzprodukt
$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \text{X} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$
2.) $(\dot{\alpha}(t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha}(t)) \; \text{X} \; \dot{\alpha}(t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ -\cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \text{X} \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} -2\cos (t) \\ -2\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$
Kreuzprodukt und Länge des Nenners bilden
Das Kreuzprodukt des Nenners ist gleich dem des Zählers, also:
$(\dot{\alpha}(t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha}(t)) \; \text{X} \; \dot{\alpha}(t) = \begin{pmatrix} -2\cos (t) \\ -2\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$
Die Länge ergibt sich folgendermaßen:
$|(\dot{\alpha}(t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha}(t)) \; \text{X} \; \dot{\alpha}(t)| = \sqrt{(-2\cos (t) )^2 + (-2\sin (t) )^2 + 0^2} = \sqrt{4 (\cos^2 (t) + \sin^2 (t) )} = \sqrt{4} = 2$
Hauptnormalenvektor berechnen
Den ermittelten Zähler durch die Länge teilen:
$\vec{n} (t) = \begin{pmatrix} -2\cos (t) \\ -2\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2}$
$= \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$
Das ist der zur Kurve $\alpha (t)$ zugehörige Hauptnormalenvektor mit der Länge $1$.
Hauptnormalenvektor in einem Punkt bestimmen
Wie im Abschnitt "Hauptnormalenvektor" im ebenen Raum, wird der Hauptnormalenvektor in einem Punkt wie folgt berechnet:
Beispiel
Gegeben sei die obige Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$. Bestimme den Hauptnormalenvektor im Punkt $(0,8|0,6|1)$.
Der Hauptnormalenvektor wurde oben bereits berechnet und ist:
$\vec{n} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$
Als nächstes wird der Winkel $t$ benötigt:
Dies kann man entweder aus $\cos (t) \; \rightarrow t = \text{argcos}(0,8) = 36,8°$
Oder aus $\sin (t) \; \rightarrow t = \text{argsin} (0,6) = 36,8°$
Jetzt kann man den Hauptnormalenvektor im Punkt $(0,8|0,6|1)$ bestimmen:
$\vec{n} (0,8|0,6|1) = \begin{pmatrix} -\cos (36,8) \\ -\sin (36,8) \\ 0 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} -0,8 \\ -0,6 \\ 0 \end{pmatrix}$
Orthogonal zum Tangenteneinheitsvektor
Der Hauptnormalenvektor steht senkrecht zum Tangentenvektor bzw. Tangenteneinheitsvektor. Das bedeutet dass das Skalarprodukt aus Tangenten- und Normalenvektor Null sein muss.
Beispiel
Gegeben sei die obige Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Zeige, dass der Tangentenvektor und der Normalenvektor senkrecht zueinander stehen.
Der Hauptnormalenvektor wurde oben bereits berechnet und ist:
$\vec{n} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$
Der Tangentenvektor (siehe vorherigen Abschnitt) ist:
$\vec{t} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$
Der Tangenteneinheitsvektor mit der Länge $1$ ist:
$\vec{t}_e (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}\sin (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
Überprüfung der Orthogonalität
$\vec{n} (t) \cdot \vec{t}_e (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} $
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \cdot \sin (t) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (t) \cdot \cos (t) + 0 = 0$
Alternativ kann auch der Tangentenvektor herangezogen werden:
$\begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} = 0$
Hauptnormalenvektor aus Tangenteneinheitsvektor
Zum Schluss soll noch gezeigt werden, wie man den Hauptnormalenvektor aus dem Tangenteneinheitsvektor (WICHTIG! der Hauptnormalenvektor kann nur durch Ableitung des Tangenteneinheitsvektors berechnet werden) ermittelt:
Der Tangenteneinheitsvektor ist: $\vec{t}_e (t) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}\sin (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
Ableitung des Tangenteneinheitsvektors:
$\dot{\vec{t}}_e (t) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \cos (t) \\ -\frac{1}{2} \sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$
Länge berechnen: $\sqrt{\frac{1}{4} (cos^2 (t) + sin^2 (t))} = \frac{1}{2}$
Durch die Länge teilen:
$\vec{n} (t) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\cos (t) \\ -\frac{1}{2} \sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \cdot 2 = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$
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