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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Hauptnormalenvektor im Raum

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Hauptnormalenvektor im Raum

Der HauptNormalenvektor ist derjenige Vektor, der senkrecht zur Tangente steht. Er besitzt die Länge $1$ und wird in Parameterdarstellung $t$ berechnet durch:

$\vec{n}(t) = \frac{(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)}{|(\dot{r}(t) \; \text{X} \; \ddot{r}(t)) \; \text{X} \; \dot{r}(t)|}$

Dabei stellt X das Kreuzprodukt dar und die Betragsstriche die Länge.

In Darstellung über die Bogenlänge $s$ wird dieser berechnet:

$\vec{n}(s) = \frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|}$

Hauptnormalenvektor aus Tangenteneinheitsvektor

Man kann den Hauptnormalenvektor auch aus dem Tangenteneinheitsvektor berechnen. Und zwar indem man den Tangenteneinheitsvektor ableitet und dann den entstehenden Vektor durch seine Länge teilt:

$\vec{n}(t) = \frac{{\dot{\vec{t}}_e (t)}}{{| \dot{\vec{t}}_e (t)|}}$

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Gegeben sei die Kurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$.

Die Kurve $\alpha (t)$ ist in Parameterdarstellung gegeben. Der dazugehörige Hauptnormalenvektor wird wie folgt ermittelt:

Ableitungen bilden

$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$

$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$

Kreuzprodukt des Zählers bilden

1.) $\dot{\alpha}(t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha}(t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \text{X} \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \sin (t) \\ -\cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$

Merke

Erinnerung: Kreuzprodukt

$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \text{X} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 \cdot b_3 -  a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$

2.) $(\dot{\alpha}(t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha}(t)) \; \text{X} \; \dot{\alpha}(t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ -\cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \text{X} \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -2\cos (t) \\ -2\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$

Kreuzprodukt und Länge des Nenners bilden

Das Kreuzprodukt des Nenners ist gleich dem des Zählers, also:

$(\dot{\alpha}(t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha}(t)) \; \text{X} \; \dot{\alpha}(t) = \begin{pmatrix} -2\cos (t) \\ -2\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$

Die Länge ergibt sich folgendermaßen:

$|(\dot{\alpha}(t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha}(t)) \; \text{X} \; \dot{\alpha}(t)| = \sqrt{(-2\cos (t) )^2 + (-2\sin (t) )^2 + 0^2} = \sqrt{4 (\cos^2 (t) + \sin^2 (t) )} = \sqrt{4} = 2$

Hauptnormalenvektor berechnen

Den ermittelten Zähler durch die Länge teilen:

$\vec{n} (t) = \begin{pmatrix} -2\cos (t) \\ -2\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2}$

$= \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$

Das ist der zur Kurve $\alpha (t)$ zugehörige Hauptnormalenvektor mit der Länge $1$. 

Hauptnormalenvektor in einem Punkt bestimmen

Wie im Abschnitt "Hauptnormalenvektor" im ebenen Raum, wird der Hauptnormalenvektor in einem Punkt wie folgt berechnet:

Beispiel

Gegeben sei die obige Raumkurve $\alpha (t) =  \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$. Bestimme den Hauptnormalenvektor im Punkt $(0,8|0,6|1)$.

Der Hauptnormalenvektor wurde oben bereits berechnet und ist:

$\vec{n} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$

Als nächstes wird der Winkel $t$ benötigt:

Dies kann man entweder aus $\cos (t) \; \rightarrow t = \text{argcos}(0,8) = 36,8°$

Oder aus $\sin (t) \; \rightarrow t = \text{argsin} (0,6) = 36,8°$

Jetzt kann man den Hauptnormalenvektor im Punkt $(0,8|0,6|1)$ bestimmen:

$\vec{n} (0,8|0,6|1) = \begin{pmatrix} -\cos (36,8) \\ -\sin (36,8) \\ 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -0,8 \\ -0,6 \\ 0 \end{pmatrix}$

Orthogonal zum Tangenteneinheitsvektor

Der Hauptnormalenvektor steht senkrecht zum Tangentenvektor bzw. Tangenteneinheitsvektor. Das bedeutet dass das Skalarprodukt aus Tangenten- und Normalenvektor Null sein muss.

Beispiel

Gegeben sei die obige Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Zeige, dass der Tangentenvektor und der Normalenvektor senkrecht zueinander stehen.

Der Hauptnormalenvektor wurde oben bereits berechnet und ist:

$\vec{n} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$

Der Tangentenvektor (siehe vorherigen Abschnitt) ist:

$\vec{t} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$

Der Tangenteneinheitsvektor mit der Länge $1$ ist:

$\vec{t}_e (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$= \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}\sin (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

Überprüfung der Orthogonalität

$\vec{n} (t) \cdot \vec{t}_e (t) =  \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} $

$= \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \cdot \sin (t) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (t) \cdot \cos (t) + 0 = 0$

Alternativ kann auch der Tangentenvektor herangezogen werden:

$\begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} = 0$

Hauptnormalenvektor aus Tangenteneinheitsvektor

Zum Schluss soll noch gezeigt werden, wie man den Hauptnormalenvektor aus dem Tangenteneinheitsvektor (WICHTIG! der Hauptnormalenvektor kann nur durch Ableitung des Tangenteneinheitsvektors berechnet werden) ermittelt:

Der Tangenteneinheitsvektor ist: $\vec{t}_e (t) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}\sin (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

Ableitung des Tangenteneinheitsvektors:

$\dot{\vec{t}}_e (t) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \cos (t) \\ -\frac{1}{2} \sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$

Länge berechnen: $\sqrt{\frac{1}{4} (cos^2 (t) + sin^2 (t))} = \frac{1}{2}$

Durch die Länge teilen:

$\vec{n} (t) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\cos (t) \\ -\frac{1}{2} \sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \cdot 2 = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$