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Elementare Funktionen > Nicht rationale Funktionen:

Hyperbelfunktionen

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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HyperbelFunktionen beziehen sich im Gegensatz zu trigonometrischen Funktionen, die am Einheitskreis mit der Formel $\ x^2 + y^2 = 1 $ definiert sind, auf analoge Strecken an der gleichseitigen Hyperbel mit der Formel $\ x^2 - y^2 = 1$. 

Es existieren sechs Hyperbelfunktionen

  • Sinus Hyperbolicus ( abgekürzt sinh),
  • Kosinus Hyperbolicus (cosh),
  • Tangens Hyperbolicus (tanh),
  • Kotangens Hyperbolicus (coth),
  • Sekans Hyperbolicus (sech),
  • und Kosekans Hyperbolicus (csch).

Die ersten drei Funktionen, also Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus und Tangens Hyperbolicus, sind für alle komplexen Zahlen definiert und sind in jedem Punkt komplex differenzierbar. Die restlichen drei Hyperbelfunktionen haben hingegen Pole auf der imaginären Achse. 

Die Definition von $\sinh$, $\cosh$, $\tanh$ und $\coth$verfolgt durch

$\sinh\ x := \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$\cosh\ x := \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$\tanh\ x := \frac{\sinh\ x}{\cosh\ x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$.

$\coth\ x := \frac{\cosh\ x}{\sinh\ x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$.

Dabei sind $\sinh x$ und $\coth x$ ungerade Funktionen (z.B. $\sinh\ (-x) = - sinh\ x $) und $\cosh x$ eine gerade Funktion ($\cosh\ (-x) = \cosh\ x $ )

Merke

Jede Gleichung mit einer oder mehrerer trigonometrischer Funktionen lässt sich in eine Gleichung mit Hyperbelfunktionen übertragen, indem man $\ cos\ x \rightarrow cosh\ x $ und $\ sin\ x \rightarrow sinh\ x $ ersetzt. 

Additionsterme der Hyperbelfunktionen

$\cosh (x \pm y) = \cosh\ x \cosh\ y \pm  \sinh x \sinh y $

$\sinh (x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm  \cosh x \sinh y $.

Hieraus folgen:

$\cosh ^2 x - \sinh ^2 x = 1 $,

$\cosh 2x = \cosh ^2 x + \sinh ^2 x $,

$\cosh ^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cosh 2x) $,

$\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x $,

und $\sinh ^2 x = -\frac{1}{2}(1 - \cosh 2x)$.

Area-Funktionen (Umkehrfunktion)

Auch für die Hyperbelfunktionen existieren inverse Funktionen (Umkehrfunktionen), diese werden als Area-Funktionen bezeichnet.

Man unterscheidet $arcosh \ x, arsinh \ x, artanh \ x$ und $arcoth \ x $.

Wenn man bedenkt, dass Hyperbelfunktionen durch die e-Funktion definiert sind, ist es nur logisch, dass sich Area-Funktionen durch ln-Funktionen ausdrücken lassen.

Beispiel

$arcosh \ x = ln( x + \sqrt{x^2 - 1})$ für $\ x \ge 1 $,
$arsinh \ x = ln (x + \sqrt{x^2 + 1})$ für $\ x \in \mathbb{R}$
$artanh \ x = \frac{1}{2} ln \frac{1+x}{1-x}$ für $\ |x| < 1$
$arcoth \ x = \frac{1}{2} ln \frac{x+1}{x-1}$ für $\ |x| > 1$
Multiple-Choice
Welche der folgenden Darstellungen von Area-Funktionen als ln-Funktionen sind korrekt?
0/0
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Jessica Scholz

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    Ein Kursnutzer am 09.12.2014:
    "Waaaaaaaaaaaaaaaaaaahnsinn einfach nur sein Geld wert :D Nur 25€ für solch einen Kurs würden auch reichen ;) wir sind schließlich Studenten und noch keine Akademiker ;-D aber auf jedenfall TOP Immer, wenn ich in der Uni sitze und nichts verstehe und dann an diesen Kurs hier denke, komme ich mir in der Uni richtig dumm vor :-D mir fehlen einfach die Worte Note 1 reicht garnicht :)"

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    Ein Kursnutzer am 13.10.2014:
    "Kurz und kapp,werden die Inhalte (wesentliche und wichtige) verständlich erklärt. "

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    Ein Kursnutzer am 22.08.2014:
    "Hätte ich das nur während dem Abi damals gewusst :D Ich war damals aber auch faul, sehr gut das man hier an den Basics anfängt und Schritt für Schriit nochmal alles erklärt bekommt =)))"

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