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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Hyperbelfunktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Hyperbelfunktionen

Hyperbelfunktionen beziehen sich im Gegensatz zu trigonometrischen Funktionen, die am Einheitskreis mit der Formel $\ x^2 + y^2 = 1 $ definiert sind, auf analoge Strecken an der gleichseitigen Hyperbel mit der Formel $\ x^2 - y^2 = 1$. 

Es existieren sechs Hyperbelfunktionen

  • Sinus Hyperbolicus ( abgekürzt sinh),
  • Kosinus Hyperbolicus (cosh),
  • Tangens Hyperbolicus (tanh),
  • Kotangens Hyperbolicus (coth),
  • Sekans Hyperbolicus (sech),
  • und Kosekans Hyperbolicus (csch).

Die ersten drei Funktionen, also Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus und Tangens Hyperbolicus, sind für alle komplexen Zahlen definiert und sind in jedem Punkt komplex differenzierbar. Die restlichen drei Hyperbelfunktionen haben hingegen Pole auf der imaginären Achse. 

Die Definition von $\sinh$, $\cosh$, $\tanh$ und $\coth$verfolgt durch

$\sinh\ x := \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$\cosh\ x := \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$\tanh\ x := \frac{\sinh\ x}{\cosh\ x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$.

$\coth\ x := \frac{\cosh\ x}{\sinh\ x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$.

Dabei sind $\sinh x$ und $\coth x$ ungerade Funktionen (z.B. $\sinh\ (-x) = - sinh\ x $) und $\cosh x$ eine gerade Funktion ($\cosh\ (-x) = \cosh\ x $ )

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Jede Gleichung mit einer oder mehrerer trigonometrischer Funktionen lässt sich in eine Gleichung mit Hyperbelfunktionen übertragen, indem man $\ cos\ x \rightarrow cosh\ x $ und $\ sin\ x \rightarrow sinh\ x $ ersetzt. 

Additionsterme der Hyperbelfunktionen

$\cosh (x \pm y) = \cosh\ x \cosh\ y \pm  \sinh x \sinh y $

$\sinh (x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm  \cosh x \sinh y $.

Hieraus folgen:

$\cosh ^2 x - \sinh ^2 x = 1 $,

$\cosh 2x = \cosh ^2 x + \sinh ^2 x $,

$\cosh ^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cosh 2x) $,

$\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x $,

und $\sinh ^2 x = -\frac{1}{2}(1 - \cosh 2x)$.

Area-Funktionen (Umkehrfunktion)

Auch für die Hyperbelfunktionen existieren inverse Funktionen (Umkehrfunktionen), diese werden als Area-Funktionen bezeichnet.

Man unterscheidet $arcosh \ x, arsinh \ x, artanh \ x$ und $arcoth \ x $.

Wenn man bedenkt, dass Hyperbelfunktionen durch die e-Funktion definiert sind, ist es nur logisch, dass sich Area-Funktionen durch ln-Funktionen ausdrücken lassen.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen $arcosh \ x = ln( x + \sqrt{x^2 - 1})$ für $\ x \ge 1 $,
$arsinh \ x = ln (x + \sqrt{x^2 + 1})$ für $\ x \in \mathbb{R}$
$artanh \ x = \frac{1}{2} ln \frac{1+x}{1-x}$ für $\ |x| < 1$
$arcoth \ x = \frac{1}{2} ln \frac{x+1}{x-1}$ für $\ |x| > 1$