Trigonometrische Funktionen

Inhaltsverzeichnis

Winkelfunktionen am Einheitskreis
Berechnung eines Punktes auf dem Einheitskreis

Trigonometrische Funktionen (gr. trigonon = Dreieck, gr. metron = Maß), auch Winkelfunktionen genannt, dienen in der Mathematik zur Berechnung der Zusammenhänge zwischen Winkeln und Seitenverhältinissen. In den Naturwissenschaften dienen sie als fundamentale Funktionen zur Berechnung periodischer Vorgänge.

Die wichtigen trigonometrischen Funktionen sind:

Sinusfunktion: $f(x) = sin(x)$
Kosinusfunktion: $f(x) = cos(x)$
Tangensfunktion: $f(x) = tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} $

sowie deren Kehrwerte:

Kosekansfunktion: $f(x) = csc(x) = \frac{1}{sin(x)} \;\; \longrightarrow$ Kehrwertfunktion der Sinusfunktion
Sekansfunktion: $f(x) = sec(x) = \frac{1}{cos(x)} \;\; \longrightarrow$ Kehrwertfunktion der Kosinusfunktion
Kotangensfunktion $\ f(x) = cot(x) = \frac{1}{tan(x)} = \frac{cos(x)}{sin(x)} \longrightarrow$ Kehrwertfunktion der Tangensfunktion

Hinweis

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Bitte verwechsle nicht eine Kehrwertfunktion mit einer Umkehrfunktion!

Der Kehrwert ist das Reziproke des Ausgangswertes, eine Kehrwertfunktion entsprechend die reziproke Funktion zur Ausgangsfunktion:
$\to f(x) = sin(x) \Longrightarrow k(x) = \frac{1}{sin(x)} = csc(x)$

Bei einer Umkehrfunktion sind Ziel- und Definitionsmenge gegenüber der umkehrbaren Ausgangsfunktion vertauscht:
$\to f(x) = sin \Longrightarrow f'(x) = arcsin$

Winkelfunktionen am Einheitskreis

In früheren Zeiten waren die trigonometrischen Funktionen nur für Winkel von $0°$ bis $90°$ definiert, da sie nur die Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken betrachteten.

Beispiel

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Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ sowie den Winkeln $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$. Die Seite $a$ liegt gegenüber $\alpha$, $b$ gegenüber $\beta$ und $c$ gegenüber $\gamma$.

$\longrightarrow sin\alpha = \frac{Gegenkathete von \alpha}{Hypothenuse} = \frac{a}{c}$

Du erinnerst aus der Schule...

Wir können jedoch den Definitionsbereich der Winkelfunktionen erweitern, indem wir sie als Sekanten- und Tangentenabschnitte am Einheitskreis (ein Kreis mit dem Zentrum im Koordinatenursprung mit Radius $1$) berechnen. So sind uns nicht nur alle Winkel bis $360°$, sondern auch negative Winkel zugänglich.

Sekanten- und Tangentenabschnitte am Einheitskreis

Berechnung am Einheitskreis:

Merke

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Sinusfunktion:
Ordinate von B: $y = sin \alpha = |\overline{AB}|$

Kosinusfunktion:
Abszisse von B: $y = cos \alpha = |\overline{0A}|$

Tangensfunktion:
Haupttangentenabschnitt: $y = tan \alpha = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = |\overline{CD}|$

sowie

Kosecansfunktion:
Abstand vom Koordinatenursprung: $y = csc \alpha = |\overline{0F}|$

Secansfunktion:
Abstand vom Koordinatenursprung: $y = sec \alpha = |\overline{0D}|$

Kotangensfunktion:
Nebentangentenabschnitt: $y = cot \alpha = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = |\overline{EF}|$