Föppl-Klammer

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Schnittgrößenbereiche mit der Föppl-Klammer darstellt. Die Föppl-Klammer ist eine vereinfachte Schreibweise für die Schnittgrößen. Es handelt sich hierbei um eine von August Föppl eingeführte Schreibweise, welche von Ingenieuren übernommen worden ist. 

Die Föppl-Klammer wird formal geschrieben zu:

$\langle x-a \rangle^n = \begin{cases} 0& \text{für } \; x < a \\ \langle x-a \rangle^n& \text{für} \; x > a \end{cases}$

Der obige Ausdruck bedeutet einfach, dass die Klammer für $x < a$ (x = Abstand zum Schnitt) den Wert $0$ annimmt und für $x > a$ den Wert der Klammer annimmt. So wird zum Beispiel die Klammer bei $n = 0$ zu $1$ und bei $n = 1$ zu $(x-a)$.  

Im Folgenden soll anhand eines Beispiels gezeigt werden, wie man die Schnittgrößenbereiche mittels Föppl-Klammer angeben kann. So entsteht eine vereinfachte Schreibweise.

Anwendungsbeispiel: Föppl-Klammer

Lagerkräfte bestimmen

Zunächst werden die Lagerkräfte $A_h$, $A_v$ und $B$ bestimmt. 

Es wird zunächst die vertikale Gleichgewichtsbedingung betrachtet:

$\downarrow : \; -A_v + F \sin(\alpha) - B = 0$

$A_v + B = F \sin (\alpha)$

$A_v + B = 20 N \sin (50°) = 15,32 N$

Als nächstes wird die horizontale Gleichgewichtsbedingung herangezogen:

$\rightarrow : \; A_h - F \cos(\alpha) = 0$

$A_h = 20 N \cos(50°) = 12,86 N$

Es folgt die Momentengleichgewichtsbedingung um das Lager $A$:

$\curvearrowleft A : \; M - F \sin (\alpha) \cdot l_1 + B \cdot l_3 = 0$

$B = \frac{-M + F \sin (\alpha) \cdot l_1}{l_3}$

$B = \frac{-40Nm+ 20N \sin (50°) \cdot 5m}{16m} = 2,29 N$

Berechnung von $A_v$:

$A_v + B = 15,32 N$

$A_v = 15,32 N - B = 15,32N - 2,29 N = 13,03N$

Zusammengefasst ergibt sich:

Schnittgrößen berechnen

In der obigen Grafik ist nochmals das linke Schnittufer für die Schnittgrößen aufgezeigt. Die Querkraft liegt immer parallel zur Querschnittsfläche, die Normalkraft steht immer senkrecht auf der Querschnittsfläche. Für das rechte Schnittufer werden die Schnittgrößen entgegengesetzt eingezeichnet (Querkraft nach oben, Normalkraft nach links gerichtet und das Moment rechtsdrehend).

Es werden nun zunächst (wie in den vorherigen Abschnitten gezeigt) die Schnittgrößenbereiche bestimmt. 

Normalkraft

Da auch horizontale Kräfte $A_h$ und $F \cos(\alpha)$ gegeben sind, treten Normalkräfte auf. Es werden hierfür zwei Schnitte durchgeführt. Einmal vor der Kraft $F$ und nach der Kraft $F$. Da nach der Kraft $F$ keine weiteren horizontalen Kräfte mehr auftreten (nur noch ein Moment), reicht es vor und nach der Kraft $F$ einen Schnitt zur Bestimmung der Normalkräfte durchzuführen. Es ergeben sich demnach die zwei Bereiche:

1. Schnitt (zwischen $A$ und $F$):

$\rightarrow : N + A_h = 0$

$N = -A_h = -12,86 N$

2. Schnitt (zwischen $F$ und $B$):

$\rightarrow : N + A_h - F \cos(\alpha) = 0$

$N = -A_h + F \cos (\alpha) = -12,86N + 20 N \cos(50°) $

Querkraft

Als nächstes wird die Querkraft betrachtet. Hier werden ebenfalls zwei Schnitte durchgeführt. Der erste Schnitt zwischen $A$ und $F$ und der zweite Schnitt zwischen $F$ und $B$. Das Moment fließt nicht in die Bestimmung der Querkraft ein.

1. Schnitt (zwischen $A$ und $F$):

$\downarrow : Q - A_v = 0$

$Q = A_v = 13,03 N$

2. Schnitt (zwischen $F$ und $B$):

$\downarrow : Q - A_v + F \sin(\alpha) = 0$

$Q = A_h - F \sin (\alpha) = 13,03 N - 20 N \sin(50°) $

Biegemoment

Für das Biegemoment müssen nun drei Schnitte durchgeführt werden, da zwischen $F$ und $B$ ein Moment gegeben ist. Der Bezugspunkt wird bei dem Schnitt gesetzt.

1. Schnitt (zwischen $A$ und $F$):

$\curvearrowleft : M - A_v \cdot x = 0$

$A_h$ wird nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinie von $A_h$ den Bezugspunkt schneidet und damit kein Hebelarm existiert.

$M = A_v \cdot x = 13,03 N \cdot x$

2. Schnitt (zwischen $F$ und $M$):

$\curvearrowleft : M - A_v \cdot x + F \sin(\alpha) \cdot (x - l_1)= 0$

$A_h$ und $F \cos(\alpha)$ werden nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinien den Bezugspunkt schneiden und damit kein Hebelarm existiert.

$M = A_v \cdot x - F \sin(\alpha) \cdot (x - l_1) = 13,03 N \cdot x - 20 N \sin(50°) \cdot (x - l_1)$.

3. Schnitt (zwischen $M$ und $B$):

$\curvearrowleft : M - A_v \cdot x + F \sin(\alpha) \cdot (x - l_1) + M = 0$

$A_h$ und $F \cos(\alpha)$ werden nicht berücksichtigt, da die Wirkungslinien den Bezugspunkt schneiden und damit kein Hebelarm existiert.

$M = A_v \cdot x - F \sin(\alpha) \cdot (x - l_1) = 13,03 N \cdot x - 20 N \sin(50°) \cdot (x - l_1) - M$.

Föppl-Klammer

Nachdem nun die Schnittgrößenbereiche ermittelt worden sind, kann als nächstes die Föppl-Klammer verwendet werden, damit die obigen zwei bzw. drei Bereiche jeweils zu einer Gleichung für die verschiedenen Schnittgrößen zusammengefasst werden können.

Normalkraft

Für die Normalkraft sind die folgenden zwei Bereiche ermittelt worden:

$N = -12,86 N$

$N = -12,86N + 20 N \cos(50°)$

Es ist deutlich zu erkennen, dass der erste Summand für beide Bereiche auftritt, dieser kann also schon einmal übernommen werden:

$N = -12,86 N + ...$

Der zweite Summand für den zweiten Bereich tritt nicht im ersten Bereich auf. Das bedeutet, dass hier die Föppl-Klammer angewandt werden muss. Für den ersten Bereich $0< x < l_1$ soll also der zweite Summand wegfallen, wohingegen für den 2. Bereich dieser Summand auftauchen soll. Es wird demnach die Föppl-Klammer wie folgt definiert:

$\langle x - l_1 \rangle^0$

Es gilt demnach:

Es gilt die Definition:

$\langle x-a \rangle^n = \begin{cases} 0& \text{für } \; x < a \\ \langle x-a \rangle^n& \text{für} \; x > a \end{cases}$

Statt $a$ gilt nun $l_1$:

$\langle x-l_1 \rangle^0 = \begin{cases} 0& \text{für } \; x < l_1 \\ \langle x-l_1 \rangle^0& \text{für} \; x > l_1 \end{cases}$

Tritt der erste Fall ein, also $x < l_1$, so wird laut Definition die Klammer zu null und damit fällt der 2. Summand weg. Es verbleibt:

$N = -12,86 N + 20 N \cos(50°) \cdot 0 = -12,86 N$.

Tritt der zweite Fall ein, also $x > l_1$, so wird laut Definition die Klammer zu $\langle x-l_1 \rangle^0 = 1$ und demnach:

$N = -12,86 N + 20 N \cos(50°) \cdot 1 = -12,86 N + 20N \cos(50°) \approx 0$.

Dies entspricht genau den ermittelten zwei Bereichen. Für die Aufgabe ist es nun also das hoch $n$ so festzulegen, dass die beiden Bereiche eintreten. Die Definition der Föppl-Klammer muss dabei immer mit angegeben werden. In diesem Fall ist $n = 0$ gewählt worden, weil die Klammer dann für $x > l_1$ zu $1$ wird und damit $20 N \cos(50°)$ für den zweiten Bereich übernommen wird.

Querkraft

Für die Querkraft sind die folgenden zwei Bereiche ermittelt worden:

$Q  = 13,03 N$

$Q = 13,03 N - 20 N \sin(50°) $

Es gilt wieder, dass der erste Summand für beide Bereiche gegeben ist und damit übernommen werden kann. Der zweite Summand hingegen soll nur für den zweiten Bereich gelten, also für $x > l_1$.

Es gilt:

$\langle x-l_1 \rangle^0 = \begin{cases} 0& \text{für } \; x < l_1 \\ \langle x-l_1 \rangle^0 & \text{für} \; x > l_1 \end{cases}$

Tritt der erste Fall ein, also $x < l_1$, so wird laut Definition die Klammer zu null und damit fällt der 2. Summand weg. Es verbleibt:

$Q = 13,03N$.

Tritt der zweite Fall ein, also $x > l_1$, so wird laut Definition die Klammer zu $\langle x-l_1 \rangle^0 = 1$ und demnach:

$Q = 13,03 N - 20 N \sin(50°)$.

Biegemoment

Für das Biegemoment ergeben sich nun drei Bereiche:

$M = 13,03 N \cdot x$

$M = 13,03 N \cdot x - 20 N \sin(50°) \cdot (x - l_1)$.

$M = 13,03 N \cdot x - 20 N \sin(50°) \cdot (x - l_1) - M$.

Es ergibt sich wieder der erste Summand für alle Bereiche. Dieser wird für die Gleichung übernommen. Der zweite Summand gilt für die Bereiche 2 und 3 und der dritte Summand nur für den letzten Bereich.

Die Gleichung ergibt sich wie folgt:

$M = 13,03 N \cdot x -  20 N \sin(50°) \cdot \langle x - l_1 \rangle^1 - M \cdot \langle x - l_2 \rangle^0$

Mit der Definition:

$\langle x-l_1 \rangle^1 = \begin{cases} 0& \text{für } \; x < l_1 \\ \langle x-l_1 \rangle^1 & \text{für} \; x > l_1 \end{cases}$

$\langle x-l_2 \rangle^0 = \begin{cases} 0& \text{für } \; x < l_2 \\ \langle x-l_2 \rangle^0 & \text{für} \; x > l_2 \end{cases}$

Hier sind nun zwei Föppl-Klammern definiert. Es gilt demnach für $x < l_1$, dass die beiden Klammer den Wert $0$ annehmen und damit:

$M = 13,03 N \cdot x$

Für $l_1 < x < l_2$ (Schnitt zwischen $F$ und $M$) gilt, dass die erste Föppl-Klammer den Wert $(x - l_1)$ annimmt und die zweite Klammer den Wert $0$, also:

$M = 13,03 N \cdot x -  20 N \sin(50°) \cdot (x - l_1) $

Für $x > l_2$ (Schnitt zwischen $M$ und $B$) gilt, dass die erste Föppl-Klammer den Wert $(x - l_1)$ annimmt und die zweite Föppl-Klammer den Wert $1$:

$M = 13,03 N \cdot x - 20 N \sin(50°) \cdot (x - l_1) - M$.