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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Assoziativgesetz

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Assoziativgesetz

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Das Assoziativgesetz besagt, dass bei der Verkettung von mathematischen Operationen, diese in jeder beliebigen Reihenfolge durchgeführt werden können und das Ergebnis immer gleich ist. Im Folgenden wird dies anhand des Durchschnitts und der Vereinigung von drei Mengen veranschaulicht

Durchschnitt von drei Mengen

Beispiel

Gegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$ und $B = \{3, 4, 5, 6 \}$ und $C = \{4, 5, 6, 7, 8 \}$. Wie kann die Schnittmenge $A \cap B \cap C$ gebildet werden?

1. Möglichkeit: $(A \cap B) \cap C$

Es wird zuerst die Schnittmenge von $A$ und $B$ ermittelt und anschließend die Schnittmenge aus diesem Ergebnis mit der Menge $C$:

$(A \cap B) = \{3, 4 \}$

$(A \cap B) \cap C = \{4 \}$

2. Möglichkeit: $(B \cap C) \cap A$

Es wird zuerst die Schnittmenge von $B$ und $C$ ermittelt und dann die Schnittmenge aus diesem Ergebnis mit der Menge $A$:

$(B \cap C) = \{4, 5, 6 \}$

$(B \cap C) \cap A = \{4 \}$

Es existieren noch die 4 weiteren Möglichkeiten $(A \cap C) \cap B, (B \cap A) \cap C, (C \cap A) \cap B, (C \cap B) \cap A$ die alle zum gleichen Ergebnis führen.

Vereinigung von drei Mengen

Beispiel

Gegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4 \}$ und $B = \{3, 4, 5, 6 \}$ und $C = \{4, 5, 6, 7, 8 \}$. Wie kann die Vereinigung $A \cup B \cup C$ gebildet werden?

1. Möglichkeit: $(A \cup B) \cup C$

Es wird zuerst die Vereinigung von $A$ und $B$ ermittelt und dann die Vereinigung aus diesem Ergebnis mit der Menge $C$:

$(A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$

$(A \cup B) \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$

2. Möglichkeit: $(B \cup C) \cup A$

Es wird zuerst die Vereinigung von $B$ und $C$ ermittelt und dann die Vereinigung aus diesem Ergebnis mit der Menge $A$:

$(B \cup C) = \{3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$

$(B \cup C) \cup A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$

Es existieren noch die 4 weiteren Möglichkeiten $(A \cup C) \cup B, (B \cup A) \cup C, (C \cup A) \cup B, (C \cup B) \cup A$ die alle zum gleichen Ergebnis führen.

Video: Assoziativgesetz