Kursangebot | Technische Mechanik 1: Statik | Haftreibung

Technische Mechanik 1: Statik

Haftreibung

So lange die relative Bewegungsgeschwindigkeit $v$ zweier sich berührender Körper zueinander den Wert null besitzt, liegt Haftreibung vor.

Haftreibung, Geschwindigkeit = 0
Haftreibung, Geschwindigkeit = 0

Beispiel

Gäbe es Haftreibung nicht, wäre es für einen Menschen nicht möglich sich auf einer Oberfläche zu bewegen. Ein Fall, in dem die Haftreibung minimal wird, ist beispielsweise gefrierende Nässe auf dem Fußweg. Zur erneuten Erhöhung der Haftreibung ist dann das Streuen von Sand oder Schotter notwendig.

Die Haftung gilt, solange sich $F$ unterhalb eines bestimmten Grenzwertes $F_0$ befindet. Bei dem Grenzwert $F_0$ nimmt $H$ den maximalen Wert $H_0$ an. Dieser Grenzwert ist proportional abhängig von der Normalkraft $N$.

Dieser Zusammenhang wird durch das Coulombsche Haftungsgesetz beschrieben.

Methode

 $ H_0 = \mu_0 \cdot N $

mit

$ H_0 $: Grenzwert der Haftung

$ \mu_0 $: Haftungskoeffizient (dimensionslos)

$ N $ : Normalkraft


Es können die Folgenden drei Fälle unterschieden werden:

Methode

Fallunterscheidung

$H < \mu_0 \cdot N$  Haftung:  Der Körper befindet sich in Ruhe.

$H = \mu_0 \cdot N$  Grenzhaftung:  Der Körper befindet sich in Ruhe. Wird dieser jedoch angestoßen, dann bewegt er sich.

$R = \mu \cdot N$  Gleitreibung: Der Körper bewegt sich und die Gleitreibung $R$ tritt anstelle der Haftreibung $H$. Es wird nun auch der Haftungskoeffizient $\mu_0$ durch den Reibungskoeffizienten $\mu$ ersetzt.

Merke

Die Haftreibung ist eine Reaktionskraft und kann bei statisch bestimmten Systemen aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden.

Resultierende

Es ist möglich die Normalkraft $N$ und die Haftreibung $H$ zu einer Resultierenden $NH$ zusammenzufassen. 

Haftreibung: Resultierende NH
Haftreibung: Resultierende NH

Die Richtung der Resultierenden wird mit dem Winkel $\varphi$ angegeben und berechnet sich durch:

$\tan \varphi = \frac{H}{N}$.

Im Grenzfall für $H_0$ wird der Grenzwinkel zu $\rho_0$ mit:

$\tan \rho_0 = \frac{H_0}{N} = \frac{\mu_0 \cdot N}{N} = \mu_0$.

$\rho_0$ ist also der Haftungswinkel.

Man kann grafisch feststellen, ob sich ein Körper in Ruhe befindet, indem man den Haftungswinkel $\rho_0$ links und rechts von der Normalkraft $N$ abträgt. Befindet sich die Resultierende $NH$ innerhalb diese Winkels, so befindet sich der Körper in Ruhe.

Haftungswinkel
Haftungswinkel

In der obigen Grafik wurde der Haftungswinkel $\rho_0$ links und rechts von der Normalkraft $N$ abgetragen. Solange die Spitze der Resultierenden $NH$ innerhalb der gestrichelten Linien liegt, befindet sich der Körper in Ruhe $H < H_0$, ansonsten in Bewegung $H > H_0$.

Einige Haftungskoeffizienten für trockene Materialien

Material Haftungskoeffizient $\mu_0$
Holz auf Holz 0,5
Stahl auf Stahl 0,15 - 0,5
Stahl auf Teflon 0,04
Stahl auf Eis 0,03
Leder auf Metall 0,4
Autoreifen auf Straße 0,7 - 0,9

Anwendungsbeispiel: Haftreibung

Beispiel

Gegeben sei der nachfolgende rechteckige Körper aus Stahl, welcher sich auf einer schiefen Ebene aus Teflon befindet. Der Neigungswinkel beträgt $\alpha = 20°$ und der Haftungskoeffizient sei $\mu_0 = 0,04$. Der Körper hat das Gewicht $G = 10 N$ mit einer angreifenden Kraft $F$. Innerhalb welcher Grenzen befindet sich $F$, wenn der Körper sich in Ruhe befindet?

Haftreibung Beispiel
Haftreibung Beispiel

Bewegung nach oben

Es wird als erstes davon ausgegangen, dass $F$ sehr groß ist. Da sich der Klotz bei großem $F$ ohne Haftung nach oben bewegen würde, muss die Haftung nach unten zeigen (entgegen der Bewegung) und hält somit den Körper im Ruhezustand. Die Haftung $H$ wird parallel zur schiefen Ebene eingezeichnet. Die Gewichtskraft $G$ wirkt immer vertikal nach unten. Die Normalkraft $N$ ersetzt die schiefe Ebene und wird im 90°-Winkel zur schiefen Ebene eingezeichnet. Das Freikörperbild sieht wie folgt aus:

Haftreibung Freikörperbild
Freikörperbild

In der rechten Grafik ist das Koordinatensystem eingezeichnet mit dem Winkel $\alpha$. $H$ und $F$ befinden sich beide auf der $x$-Achse nur entgegengesetzt mit dem Winkel $\alpha$ zur Hilfslinie (gestrichelte Linie). $N$ zeigt in Richtung der positiven $y$-Achse. Mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen können jetzt die fehlenden Größen ermittelt werden. Die Berechnung der Winkel erfolgt hier immer zur positiven $x$-Achse hin:

Pfeil nach links oben ($y$-Achse): $N + G \cdot \sin ((90° - \alpha) + 90° + 90°) = 0$

$N = -10 N \cdot \sin (250) = 9,40 N$.

Pfeil nach rechts oben ($x$-Achse): $F - H + G \cdot \cos (250) = 0$

$H = F + G \cdot \cos (250) = F + 10 N \cdot \cos (250) = F - 3,42 N$.

Ein Körper befindet sich solange in Ruhe wie $H \le H_0 = \mu_0 \cdot N$ gilt:

$F - 3,42 N \le \mu_0 \cdot 9,40 N$                    |$\mu_0 = 0,04$

$F \le 3,80 N$

Die obere Grenze für $F$ ist also $3,80 N$. Wenn $F$ größer als dieser Wert wird, dann bewegt sich der Körper nach oben und die Gleitreibung $R$ tritt anstelle der Haftreibung $H$.

Bewegung nach unten

Es wird jetzt davon ausgegangen, dass $F$ sehr klein ist. Da der Körper bei kleinem $F$ ohne Haftung nach unten rutschen würde, muss die Haftung nach oben zeigen (entgegen der Bewegung) und hält somit den Körper im Ruhezustand. Die Normalkraft ersetzt wieder die schiefe Ebene und das Gewicht $G$ zeigt nach unten:

Haftreibung Freikörperbild
Freikörperbild

Mittels der Gleichgewichtsbedingungen können die fehlenden Größen berechnet werden:

Pfeil nach rechts oben (x-Achse): $H + F + G \cdot \cos (90° - \alpha + 180°) = 0$

$H = - F - G \cdot \cos (250°) = -F + 3,42 N$

Pfeil nach links oben (y-Achse): $N + G \cdot \sin (250°) = 0$

$N = - G \cdot \sin (250°) = 9,40 N$

Ein Körper befindet sich solange in Ruhe wie $H \le H_0 = \mu_0 \cdot N$ gilt:

$-F + 3,42 N \le \mu_0 \cdot 9,40 N$                 |$\mu_0 = 0,04$

$F \ge 3,04 N$

Die untere Grenze für $F$ ist also $3,04 N$. Wenn $F$ kleiner als dieser Wert wird, dann rutscht der Körper nach unten und die Gleitreibung $R$ tritt anstelle der Haftreibung $H$.