Man greift selten auf die Definition mit dem Grenzwert zurück um ein bestimmtes Integral zu berechnen. Stattdessen verwendet man für die Berechnung bestimmter Integrale einen Satz, welcher auf die Berechnung unbestimmter Integrale zurückzuführen ist:
Methode
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Ist $F(x)$ eine Stammfunktion der stetigen Funktion $f(x)$, also $F'(x) = f(x)$ so gilt:
$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) – F(a)$

Beispiel
$\int\limits_{1}^{3} 3x^2 dx = [x^3]_1^3 = 3^3 - 1^3 = 26$

In der obigen Grafik ist der orange markierte Bereich die Fläche der Funktion im Intervall $[1, 3]$. Diese Fläche liegt bei 26.
Beispiel
$\int\limits_{0}^{1} e^x = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$
Rechenregeln
Summenregel:
$\int\limits_a^b f(x) dx \pm g(x) sx \; = \; \int\limits_a^b f(x) dx \pm \int\limits_a^b g(x) dx$
Faktorregel:
$\int\limits_a^b k \cdot f(x) dx = k \int\limits_a^b f(x) dx$
Intervalladditivität:
$\int\limits_a^b f(x) dx + \int\limits_b^c f(x) dx = \int\limits_a^c f(x) dx $
Vertauschen der Integrationsgrenzen:
$\int\limits_a^b f(x) dx = - \int\limits_b^a f(x) dx $
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