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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung

Man greift selten auf die Definition mit dem Grenzwert zurück um ein bestimmtes Integral zu berechnen. Stattdessen verwendet man für die Berechnung bestimmter Integrale einen Satz, welcher auf die Berechnung unbestimmter Integrale zurückzuführen ist:

Methode

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist $F(x)$ eine Stammfunktion der stetigen Funktion $f(x)$, also $F'(x) = f(x)$ so gilt:

$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) – F(a)$

Fläche unter Funktion
Flächenberechnung

Beispiel

Gegeben sei die Funktion  $f(x) = 3x^2$.  Bestimme das bestimmte Integral im Intervall $[1, 3]$.

$\int\limits_{1}^{3} 3x^2 dx = [x^3]_1^3 =   3^3 - 1^3 =  26$

Beispiel
Beispiel: Bestimmtes Integral

In der obigen Grafik ist der orange markierte Bereich die Fläche der Funktion im Intervall $[1, 3]$. Diese Fläche liegt bei 26.

Beispiel

Gegeben sei die die Funktion:  $f(x) = e^x$.  Bestimme das bestimmte Integral im Intervall $[0, 1]$.

$\int\limits_{0}^{1} e^x = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$

Rechenregeln

Summenregel:  

$\int\limits_a^b f(x) dx \pm g(x) sx \; = \; \int\limits_a^b f(x) dx \pm \int\limits_a^b g(x) dx$

Faktorregel:

$\int\limits_a^b k \cdot  f(x) dx =  k \int\limits_a^b f(x) dx$

Intervalladditivität:

$\int\limits_a^b f(x) dx  +  \int\limits_b^c f(x) dx  =  \int\limits_a^c f(x) dx $

Vertauschen der Integrationsgrenzen:

$\int\limits_a^b f(x) dx  = - \int\limits_b^a f(x) dx $