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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Totales Differential

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Totales Differential

Ändern sich die einzelnen Variablen $\ x_1,... x_n $ eines stetig differenzierbaren Funktionswertes $\ y $ zeitgleich, so beschreibt das totale Differential $\ dy $ die Summe aller einzelnen marginalen Änderungen von $\ x_1,...x_n $.

In der Volkswirtschaftslehre sind ökonomische Vorgänge oft durch die gleichzeitige Änderung mehrerer Variablen gekennzeichnet. Ein Instrument, welches hierfür beinahe exemplarisch steht, ist das IS/LM-Modell zur gesamtheitlichen Erfassung der Einnahmen und Ausgaben einer Volkswirtschaft.

Merke

Das totale Differential $\ dy $ beschreibt die Änderung der Funktion für die marginale Änderung aller Funktionsvariablen. 

Im allgemeinen Fall ist das totale Differential $ dy $ der Funktion  $ y = f (x_1,..., x_n)$.

$\ dy = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} dx_2 + ..... + \frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i$.

Das bedeutet, die Summe der Ableitungen der Funktion jeweils nach jeder Variablen einzeln (wobei die anderen Variablen Konstanten darstellen) ist das Differential der Funktion.

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Gegeben sei die Funktion $z = f(x,y) = x^2 + y^2$

Das totale Differential ist:

$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2x \ dx$

$\frac{\partial f}{\partial y} dy = 2y \ dy$

$\rightarrow \; dz = 2x \ dx + 2y \ dy$

Beispiel

Gegeben sei die Funktion $ w = f(x,y,z) = x^2 y z$

Das totale Differential ist:

$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2xyz \ dx$

$\frac{\partial f}{\partial y} dy = x^2z \ dy$

$\frac{\partial f}{\partial z} dz =x^2y \ dz$

$\rightarrow \ dw = 2xyz \ dx + x^2z \ dy + x^2y \ dz$